事件及其运算, 概率及其性质

本章主要讲述了概率论发展简史,概率论的几个基本概念。包括了随机试验和随机事件,事件的关系及其运算以及概率的定义及性质。通过例题学习事件的运算。
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1.1.1: 事件及其运算, 概率及其性质 张伟平 课件 http://staff.ustc.edu.cn/~zwp/ 论坛 http://fisher.stat.ustc.edu.cn

2.第一章事件与概率 1.1 概率论发展简史 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 概率论的几个基本概念 . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 随机试验和随机事件 . . . . . . . . . . 9 1.2.2 事件的关系及其运算 . . . . . . . . . . 13 1.2.3 概率的定义及性质 . . . . . . . . . . . 17 Previous Next First Last Back Forward 1

3.1.1 概率论发展简史 ♠ French Society in the 1650’s • 赌博是一种流行时尚 • 法律没有禁止 • 当游戏越来越复杂, 利益 越来越大时, 需要数学方 法来计算获胜可能性 Previous Next First Last Back Forward 2

4.♠ Enter the Mathematicians • 贵族De Mere在与一名 宫廷卫士一次赌博时关 于如何分赌本的问题发 生 了 争 执, 于 是 请 教 他 的好友数学家 Blaise Pascal. • Pascal 与 他 的 另 一 名 好友数学家Pierre Fer- mat通信讨论了该问题, 形成概率论中一个重要 的基本概念 —数学期望 Previous Next First Last Back Forward 3

5.♠ Enter the Mathematicians • Christiaan Huygens 在 1657 年写了世界上第一本关于概率 论的著作 De ratiociniis in lu- do aleae (“ On Reasoning in Games of Chance”), 中文译 名 “论赌博中的计算” Previous Next First Last Back Forward 4

6.♠ Enter the Mathematicians • Pierre-Simon Laplace 在 他 1812 年 的 著 作 Theorie An- alytique des Probabilities中 介绍了概率的数学理论及其科学 应用. • Laplace只考虑了古典概型, 对 一般的概率及其应用没有介绍. • 到 1850 年, 许多数学家发现古典 概型对一般场合不合理, 开始尝 试重新定义概率 Previous Next First Last Back Forward 5

7.♠ Enter the Mathematicians • Andrey Kolmogorov 第一个 在 他 1933 年 的 著 作 Grund- begriffe der Wahrschein- lichkeitsrechnun中 严 密 的 定 义了概率. • 类 似 于Euclid基 于 公 理 体 系 建 立几何, 他从基本公理建立了概 率理论, 从而使概率论称为一门 严谨的数学分支 • 概率理论的现代研究和测度论非 常紧密的结合在一起 Previous Next First Last Back Forward 6

8. 概率论与数理统计的应用 概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中. 例如 • 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与《概率论》紧密 相关 • 产品的抽样验收,新研制的药品能否在临床中应用,均要用到 《假设检验》; • 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》和 《数据处理》; • 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其发射都离不开《可靠性 估计》 • 处理通信问题, 需要研究《信息论》; • 研究经济数据等依时间观测数据时,《时间序列分析》 方法非 常有用 • 研究化学反应的时变率,要以《马尔可夫过程》 来描述; Previous Next First Last Back Forward 7

9.• 生物学中研究群体的增长问题时,提出了生灭型 《随机模型》 ,传染病流行问题要用到多变量非线性《生灭过程》 • 许多服务系统,如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、 存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等,都可用一类 概率模型来描述,其涉及到的知识就是 《排队论》 • 研究收入如何受个体教育程度, 行业, 性别等因素影响, 要用到 《回归分析》 • 研究多变量之间关系, 分类, 聚类等, 要用到《多元分析》 • 研究寿命数据要用到《生存分析》 • ... Previous Next First Last Back Forward 8

10.1.2 概率论的几个基本概念 1.2.1 随机试验和随机事件 随机现象: 自然界中的一种客观现象, 当人们观测它时, 不能预先 确定会出现哪种结果, 而仅仅知道是多种可能结果之一. 随机试验: 随机现象的实现和对它某个特征的观测. • 随机试验中要求试验的结果至少 2 个 • 每次试验或观测得到其中的一个结果,在试验或观测之前 不能预知是哪个结果发生 • 一般还要求试验在相同条件下能够重复 如观测把硬币抛 4 次后正面向上的次数; 观测某地的温度变化; 某电话总机单位时间内转接的电话次数. Previous Next First Last Back Forward 9

11.基本事件: 随机试验中的每个单一结果, 它犹如分子中的原 Definition 子, 在化学反应中不能再分, 所以有 ``基本'' 两字. 如把硬币抛 3 次后有 8 种可能结果: 正正正、正正反、正反正、 反正正、正反反、反正反、反反正、反反反. 这 8 种可能结果的每一 个都是基本事件. 随机事件: 简称事件 (Event), 在随机试验中我们所关心的 Definition 可能出现的各种结果, 它由一个或若干个基本事件组成. 随机事件常用大写英文字母 A, B, C, D 等表示. 如果用语言表 达, 则要用花括号括起来. Previous Next First Last Back Forward 10

12.样本空间(Sample Space): 随机试验中所有基本事件所构成 的集合, 通常用 Ω 或 S 表示. 样本空间中的元素, 称为样 Definition 本点, 通常用 ω 等表示. ↑Example (1). 掷一枚骰子, 观察出现的点数. 则 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. (2). 考察某一地区的年降雨量, 则 Ω = {x|0 ≤ x < T }, 这里 T 表示某个常数, 表示降雨量不会超过 T . ↓Example • 样本空间的元素应该是相互不同的, 根据试验的不同目的, 样本 空间应该予以不同的选择. • 但是总的原则是样本空间应该尽可能详细, 即尽可能包含所有 可能的结果. 看下面的例子 Previous Next First Last Back Forward 11

13. ↑Example (1). 将一枚硬币抛三次,考察正反面出现的情况; (2). 将一枚硬币抛三次,考察正面出现的次数。 ↓Example 这两个试验的目的不同,因此样本空间的选取也不同。 必然事件 (Ω): 在试验中一定会发生的事件; Definition 不可能事件 (ϕ): 在试验中不可能发生的事件. 因此, 我们不严格的说样本空间的子集称为随机事件. Previous Next First Last Back Forward 12

14.1.2.2 事件的关系及其运算 可以证明, 把样本空间中的基本事件与空间中的点相对应, 则事 件与集合相对应, 因此事件运算与集合运算可以建立一一对应关系. • 子事件 A ⊂ B: 事件 A 发生蕴含 事件 B 一定发生, 则事件 A 称为 事件 B 的子事件, 记为 A ⊂ B. 若 A ⊂ B, 且 B ⊂ A, 则称事件 A 与事件 B 相等, 记为 A = B. • 事件的和 (A ∪ B) : 事件 A 和事 件 B 中至少有一个发生的这一 事件称为事件 A 和事件 B 的和, 记为 A ∪ B. Previous Next First Last Back Forward 13

15.• 事件的积 (A ∩ B) : 事件 A 和事 件 B 同时发生这一事件称为事 件 A 和事件 B 的积, 记为 A∩B. 如果 A ∩ B = ϕ, 则称 A 和 B 不相容或者互斥, 即事件 A 和 B 不能同时发生. ¯ A 不发生这 • 对立事件 Ac (或 A): 一事件称为事件 A 的对立事件 (或余事件) . Previous Next First Last Back Forward 14

16. • 事件 A 和事件 B 的差 A − B: 事件 A 发生而事件 B 不发生这 一事件称为事件 A 和事件 B 的 差, 记为 A − B, 或等价的, AB c . 事件的运算 • 集合的运算法则适用于事件的运算 • De Morgan 对偶法则: ∪ n ∩ n Ai = A¯i i=1 i=1 ∩ n ∪ n Ai = A¯i i=1 i=1 Previous Next First Last Back Forward 15

17. ↑Example 设 A, B, C 是三个事件,试表示下列事件 ¯ 1. 事件 A, B 发生而 C 不发生;(AB C) 2. 事件 A, B, C 不同时发生; (A¯ + B ¯ + C) ¯ 3. 事件 A, B, C 中至多有一个发生;(Ac B c + Ac C c + B c C c ) 4. 事件 A, B, C 中至少发生两个;(AB + AC + BC) ¯ + ABC 5. 事件 A, B, C 中恰好发生两个;(AB C ¯ + ABC) ¯ ↓Example Previous Next First Last Back Forward 16

18.1.2.3 概率的定义及性质 1. 概率的定义 什么叫概率? 直观地讲, 概率是随机事件发生可能性大小的数字 表征, 其值习惯上用 0 和 1 之间的数表示, 换句话说, 概率是事件的 函数. 如何求出事件 A 的概率 ( 记为 P (A))? (1) 古典概型: 有两个条件, 第一 (有限性) 试验结果只有有限个 (记为 n) , 第二 (等可能性) 每个基本事件发生的可能性相同. 为计算事件 A 的概率, 设 A 中包含 m 个基本事件, 则事件 A 的 概率为 m |A| P (A) = = n |Ω| 记号: 为方便起见,以 |B| 记事件 B 中基本事件的个数. Previous Next First Last Back Forward 17

19.(2) 概率的统计定义 古典概型的两个条件往往不能满足, 此时如何定义概率? 常用的 一种方法是把含有事件 A 的随机试验独立重复做 n 次 (Bernouli 试 验) , 设事件 A 发生了 nA 次, 称比值 nnA 为事件 A 发生的频率, 当 n 越来越大时, 频率会在某个值 p 附近波动, 且波动越来越小, 这个值 p 就定义为事件 A 的概率. ↑Example 抛硬币的试验 试验者 掷硬币的次数 正面出现的次数 频率 蒲丰 4040 2048 .5069 皮尔逊 12000 6019 .5016 皮尔逊 24000 12012 .5005 ↓Example 从这个例子可以看出随着试验次数的增加,频率越来越接近 1/2. Previous Next First Last Back Forward 18

20.(3) 主观概率 • 个人对某个结果发生可能性的一个判断, 如某人认为有 80% 的 可能性房价暴跌. 另一人则认为仅有 20% 的可能性. • 有相当的生活基础 • 在金融和管理等方面有大量应用 • 基于此的概率学派称为贝叶斯 (Bayes) 学派 • 但是当前用频率来定义概率的频率派仍是数理统计的主流. 焦 点是频率派认为概率是客观存在,不可能因人而异. Previous Next First Last Back Forward 19

21.(4) 概率的公理化定义: 对概率运算规定一些简单的基本法则, 称 P (·) 为一概率, 如果 (i) 设 A 是随机事件, 则 0 ≤ P (A) ≤ 1 (ii) 设 Ω 为必然事件, 则 P (Ω) = 1 (iii) 若事件 A1 , A2 , . . . 为两两不相容的事件序列, 则 Definition ∪ ∞ ∑ ∞ P( Ai ) = P (Ai ) i=1 i=1 注: 事实上我们把可以定义 (计算) 概率的事件集合记为 F, 其是 样本空间的 σ− 代数. 由概率的公理化定义, 我们可以得到 Previous Next First Last Back Forward 20

22.1. P (ϕ) = 0 2. (有限可加性) 若 Ak ∈ F , k = 1, · · · , n 且两两互斥,则 ∑n ∑ n P( Ak ) = P (Ak ) k=1 k=1 3. (可减性) 若 A, B ∈ F 且 A ⊂ B,则 P (B−A) = P (B)−P (A). 4. (单调性) 若 A, B ∈ F 且 A ⊂ B,则 P (A) ≤ P (B). ¯ = 1 − P (A) 5. P (A) 6. (加法定理) 对任意的事件 A1 , · · · , An ∈ F,有 ∑ n ∑ n ∑ n ∑ n P( Ak ) = P (Ak ) − P (Ai Aj ) + P (Ai Aj Ak ) k=1 k=1 1≤i<j≤n 1≤i<j<k≤n − · · · + (−1)n−1 P (A1 A2 · · · An ) Previous Next First Last Back Forward 21

23. ∑ ∞ 7. (次可加性) 对任意的事件 A1 , · · · , An , · · · ∈ F ,有 P ( An ) ≤ n=1 ∑ ∞ P (An ). n=1 8. (下连续性) 若 An ∈ F 且 An ⊂ An+1 , n = 1, 2, · · · , 则 ∑ ∞ P( An ) = lim P (An ) n n=1 9. (上连续性) 若 An ∈ F 且 An ⊃ An+1 , n = 1, 2, · · · , 则 ∏ ∞ P( An ) = lim P (An ) n n=1 Previous Next First Last Back Forward 22

24. ↑Example (1992 年考研) 已知 P (A) = P (B) = P (C) = 1/4, P (AB) = P (AC) = 0, P (BC) = 1/6, 求 P (A¯B ¯ C). ¯ ↓Example 解: ¯B P (A ¯ = 1 − P (A ∪ B ∪ C) ¯ C) = 1 − [P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC)] = 1 − 3/4 + 2/6 = 7/12. 从而 P (A ∪ B ∪ C) = 5/12 但是又由 P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 1/2, 于是的矛盾 P (A ∪ B) = 1/2 > 5/12 = P (A ∪ B ∪ C) Previous Next First Last Back Forward 23

25. ↑Example 求证对任意 n 个事件 A1 , · · · , An 有 ∏ n ∑ n P( Ak ) ≥ P (Ak ) − n + 1 k=1 k=1 ↓Example 作业. Previous Next First Last Back Forward 24