傅立叶变换的推导

傅里叶变换就是傅里叶级数当周期趋向于无穷大的形式。线性时不变系统中,信号如何表示?信号展开后,如何寻找信号空间的一组完备正交基?为什么要用周期复指数完备集对信号进行分解?
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1.—— 从信号的角度 傅里叶变换的推导 计算机科学与工程学院 李华繁 ( Takashi) 2015,10

2.傅里叶变换就是傅里叶级数当周期趋向于无穷大的形式。 完结撒花。。。

3.Outline 线性时不变系统 傅里叶级数 傅里叶变换

4.线性时不变系统 信号的表示 LTI 系统 信号通过 LTI 系统

5.如何表示一个信号   用函数 (C, a 为实数 )    

6.如何表示一个信号     用函数   欧拉公式 (C, a 为实数 )     复指数信号

7.如何表示一个信号 一 个基本信号:单位冲激信号 用函数   用单位冲激信号表示其他信号  

8.如何表示一个信号 一 个基本信号:单位冲激信号 用函数   用单位冲激信号表示其他信号   连续的情形    

9.LTI 系统 ( Linear Time-Invariant System ) 线性 L x 1 (t) x 2 (t) y 1 (t) y 2 (t) a x 1 (t) x 1 (t) +x 2 (t) ax 1 (t) +bx 2 (t) a y 1 (t) y 1 (t) +y 2 (t) ay 1 (t) +by 2 (t)

10.LTI 系统 ( Linear Time-Invariant System ) TI x(t) y(t) x(t-t 0 ) y(t-t 0 ) 线性 时不变性 L x 1 (t) x 2 (t) y 1 (t) y 2 (t) a x 1 (t) x 1 (t) +x 2 (t) ax 1 (t) +bx 2 (t) a y 1 (t) y 1 (t) +y 2 (t) ay 1 (t) +by 2 (t)

11.LTI 系统 ( Linear Time-Invariant System ) 线性 时不变性 线性时不变 LTI x(t) y(t) ax(t ) + bx (t-t 0 ) ay(t ) +by(t-t 0 )

12.当信号通过 LTI 系统 … 当 x[n]= δ [n] 时,输出的 y[n] 叫做系统的单位冲激响应 LTI x[n] y[n] 系统对 x[n] 的响应 通常, 用符号 h[n] 表示系统的单位冲激响应

13.当信号通过 LTI 系统 … 当 x[n]= δ [n] 时,输出的 y[n] 叫做系统的单位冲激响应 LTI x[n] y[n] 系统对 x[n] 的响应 如果 x[n] 更复杂一点? 通常, 用符号 h[n] 表示系统的单位冲激响应

14.当信号通过 LTI 系统 … 当 x[n]= δ [n] 时,输出的 y[n] 叫做系统的单位冲激响应 LTI x[n] y[n] 系统对 x[n] 的响应 如果 x[n] 更复杂一点? 通常, 用符号 h[n] 表示 系统的单位冲激响应 [n]  h[n] [n-k]  h[n-k] x[k][n-k] x[k] h[n-k]

15.当信号通过 LTI 系统 … 当 x[n]= δ [n] 时,输出的 y[n] 叫做系统的单位冲激响应 LTI x[n] y[n] 系统对 x[n] 的响应 如果 x[n] 更复杂一点? 通常, 用符号 h[n] 表示 系统的单位冲激响应 [n]  h[n] [n-k]  h[n-k] x[k][n-k] x[k] h[n-k]   

16.当信号通过 LTI 系统 … 连续的情形 LTI x[n]   卷积和

17.当信号通过 LTI 系统 … 连续的情形 LTI x[n]   卷积和 LTI x(t)   卷积 积分

18.现在我们来谈谈信号的展开 信号的 展开 信号的傅里叶级数

19.信号展开 … 似曾相识 ? 任何一个函数可以分解为一个奇函数和偶函数之和 泰 勒展开   - 将复杂的函数表示成幂级数的线性叠加 - 复杂的函数可以用多项式来表示了啊啊! 二维平面的任何曲线运动可以分解为两个正交方向上的直线运动 三维空间的任何曲线运动可以分解为三个正交方向上的直线运动

20.那些年,我们展开过的函数   在它们的基础上可以进一步导出欧拉公式       以及上帝创造的等式 —  

21.信号展开 … 似曾相识 ? 任何一个函数可以分解为一个奇函数和偶函数之和 泰 勒展开   - 将复杂的函数表示成幂级数的线性叠加 - 复杂的函数可以用多项式来表示了啊啊! 二维平面的任何曲线运动可以分解为两个正交方向上的直线运动 三维 空间 的任何曲线运动可以分解为三个正交方向上的直线运动 有没有其他的式子(级数)可以用来对信号展开?

22.当 一 个复指数信号通过 LTI 系统 … LTI                 令   这说明了什么?

23.说明了 LTI 系统对复指数信号的响应仍然是复指数信号。

24.当 一 个复指数信号通过 LTI 系统 … LTI     只不过改变了幅度 / 相位而已 这样的信号称为系统的特征函数, H(s) 则称为特征值 是不是和矩阵的特征向量、特征值有些相似?  

25.当若干个复指数信号的线性组合通过 LTI 系统 … LTI     那么输出也是若干个复指数信号的线性组合 于是,问题来了 —— 一个信号可以表示成若干个复指数信号的线性组合吗??

26.类比 … 一 个向量如何表示为若干个向量的线性组合?   想 办法搞到该向量所在空间的一组正交基 定义在 区间的两个函数 , ,满足   正交的完备性 什么是正交? 三角函数集   复指数函数集   都定义在区间   简称:搞基。。 Walsh 函数集 …… 频率 序 率

27.用正交基表示信号 选用三角函数集来表示信号 选用复指数函数集 三角函数集   复指数函数集   都定义在区间       这是什么?

28.傅里叶级数   如何求系数? 两边同乘以       两边同时在一个周期内积分 交换等式右边积分 与 求和符号   当 k=n 时,为 T ; 否则为 0 于是乎   结果 是  

29.用正交基表示信号   我们换一种表达方式   令 那么 于是         将 T 换掉