07-非线性方程组-不动点迭代与 Newton 迭代

1 .1 第七章 非线性方程 ( 组 ) 数值解法 —— 非线性 方程组 —— 不动点迭代与 Newton 迭代

2 .2 非线性 方程组

3 .3 非线性方程组 迭代法： 单变量 函数 f ( x )  多变量 函数 F ( x )

4 .4 基本性质 F ( x ) 在 x * 点处连续 F ( x ) 在区域 D  R n 内连续 F ( x ) 在 D 内所有点都连续

5 .5 导数： Jacobi 矩阵

6 .6 迭代方法 不动点迭代法 Newton 迭代法

7 .7 不动点迭代 构造 F ( x ) = 0 的一个等价 方程组：  ( x ) 的不动点 F ( x ) = 0 x =  ( x ) 等价变换 F ( x ) 的零点 迭代 格式 k = 0, 1, 2, ... 给定 迭代初始值 x (0) ， 计算 注：函数  ( x ) 称为迭代函数

8 .8 收敛性 分析 设  ( x ) 连续， 若迭代序列 收敛，即 注： x * 为  ( x ) 的不动点， F ( x ) 的零点。 则 即

9 .9 收敛性分析 定理： 设函数  ( x ) 在 区域 D  R n 内有定义，且： (1) 存在闭集 D 0  D 和实数 L  (0, 1) ，使得 (2) 对任意 x  D 0 有 则  ( x ) 在 D 0 内存在唯一不动点 x * ， 且对任意 x (0)  D 0 ，由迭代法生成的序列都收敛到 x * ， 同时有以下误差估计 注： 该定理也称为 压缩映像原理 ，条件 (1) 称为 压缩条件 。

10 .10 局部收敛 性 定理： 设 x * 是  ( x ) 的不动点，且  ( x ) 在 x * 的某个领域 U  ( x * ) 内存在连续偏导数，且 则存在 x * 的一个领域 D 0 ， 对任意 x (0)  D 0 ，由迭代法生成的序列都收敛到 x * 。

11 .11 收敛阶 定义： 设序列 收敛到 ，且存在常数 p  1 和 C > 0 ，使得 则 为 p 阶收敛 。 当 p =1 且 0< C < 1 时 称为 线性收敛 当 p =2 时称为 二次收敛 ，或 平方收敛 当 p >1 或 p =1 且 C =0 时 称为 超线性收敛

12 .12 Newton 迭代 k = 0, 1, 2, ... Newton 迭代法

13 .12 Newton 迭代 k = 0, 1, 2, ... Newton 迭代法

14 .14 Newton 法举例 例： 用 Newton 法求 解非线性方 程组 解： 取迭代初始值 x (0) =[0,0] T ，结果见 ex77.m