05-向量与矩阵范数-矩阵条件数

向量范数( 定义、常见向量范数、性质) 矩阵范数( 定义、常见向量范数、性质) 矩阵条件数
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1.1 第五章 线性方程组直接解法 — 向量与矩阵范数 — 矩阵条件数

2.2 本讲内容 定义、常见向量范数、性质 向量范数 定义、常见矩阵范数、性质 矩阵范数 矩阵条件数

3.3 向量范数 向量内积,向量范数 常见向量范数: 1 、 2 、 p 、  范数的性质(连续性、等价性) Cauchy-Schwarz 不等式 向量序列的收敛性

4.4 向量范数 定义: 设函数 f : R n  R ,若 f 满足 f ( x )  0 , x  R n , 等号当且仅当 x = 0 时成立 (正定性) f (  x ) = | | · f ( x ) ,  x  R n ,    R ( 齐次性 ) f ( x + y )  f ( x ) + f ( y ) (三角不等式) 则称 f 为 R n 上的(向量)范数,通常记为 || · || 向量范数 向量内积(数量积) 定义与性质、 Cauchy-Schwarz 不等式 导出范数(欧氏范数)

5.5 常见向量范数 R n 空间上常见的向量范数 1 - 范数 : 2- 范数:  - 范数(有时也称最大范数): p - 范数:

6.6 范数性质 范数的性质 (1) 连续性 定理: 设 f 是 R n 上的任一向量范数,则 f 关于 x 的每个分量连续。 (2) 等价性 定理: 设 || · || s 和 || · || t 是 R n 上的任意两个范数,则存在常数 c 1 和 c 2 ,使得对任意的 x  R n 有 证明:板书 证明:板书

7.7 范数性质 (3) Cauchy-Schwarz 不等式 (4) 向量序列的收敛性(略,见第六章) 定理: 证明:略

8.8 矩阵范数 矩阵范数 常见矩阵范数: F 、 1 、 2 、  范数的性质(连续性、等价性) 矩阵范数的相容性 算子范数的计算、算子范数与谱半径

9.9 矩阵范数 定义: 设函数 f : R n  n  R ,若 f 满足 f ( A )  0 , A  R n  n , 且 f ( A ) = 0  A = 0 (正定性) f (  A ) = | | · f ( A ) ,  A  R n ,    R ( 齐次性 ) f ( A + B )  f ( A ) + f ( B ) (三角不等式) f ( AB )  f ( A ) f ( B ) (相容性) 则称 f 为 R n  n 上的(矩阵)范数,通常记为 || · || 矩阵范数

10.10 常见矩阵范数 常见的矩阵范数 (1) F- 范数 ( Frobenious 范数 ) : (2) 算子范数 ( 从属范数、诱导范数 ) 其中 || · || 是 R n 上的任意一个向量范数 证明:板书 注:教材上的定义不太严谨

11.11 算子范数 常见的算子范数 ③  - 范数(行范数) ② 2- 范数(谱范数) ① 1- 范数(列范数) 证明:③ ② 板书,① 为作业

12.12 算子范数举例 例: 设 计算 解:板书

13.13 矩阵范数性质 (1) 连续性: 设 f 是 R n  n 上的任一矩阵范数,则 f 关于 A 的每个分量是连续的。 (2) 等价性: 设 || · || s 和 || · || t 是 R n  n 上的任意两个矩阵范数,则存在常数 c 1 和 c 2 ,使得对任意的 A  R n  n 有 (3) 若 A 是对称矩阵,则 证明:略 证明:略 证明:练习

14.14 算子范数性质 定理: 设 || · || 是任一算子范数,则 证明:板书 事实上,该 性质 对任意矩阵范数都成立 定理: 设 || · || 是 R n 上的任一向量范数,其对应的算子范数也记为 || · || ,则有 该性质就是矩阵范数与向量范数的 相容性 证明:直接由算子范数定义可 得。

15.15 算子范数性质 定理: 设 || · || 是任一算子范数,若 || B || <1 ,则 I ± B 非奇异,且 证明:板书 定理: 对任意  > 0 , 总存在一算子范数 || · ||  ,使得 || A ||    ( A ) +  证明:略

16.16 矩阵条件数 病态矩阵 矩阵条件数 条件数的计算 条件数的性质

17.17 病态矩阵 定义: 考虑线性方程组 Ax = b ,如果 A 或 b 的 微小 变化会导致解的 巨大 变化,则称此线性方程组是 病态 的,并称矩阵 A 是 病态 的,反之则是 良态 的。 什么是病态矩阵 例:

18.18 矩阵条件数 定义: 设 A 非奇异,则称 为 A 的 条件数 ,其中 v 是 1 , 2 或  。 如何判别矩阵是否病态 —— 矩阵的条件数 定理: 考虑线性方程组 Ax = b ,设 A 是精确的, b 有 微小 的扰动  b ,新方程组的解为 x +  x ,即 A ( x +  x ) = b +  b ,则 证明:板书

19.19 矩阵条件数 定理: 考虑线性方程组 Ax = b ,设 b 是精确的, A 有 微小 的扰动  A ,此时的解为 x +  x 。假定 ,则 当  A 充分小时,不等式右端约为 证明:略 通常,当 A 的条件数较大时,就称 A 就是病态的 一般来说,条件数越大,病态越严重,此时就越难用一般方法求得线性方程组的比较精确的解。

20.20 矩阵条件数 条件数与范数有关,常用的有 无穷范数 和 2- 范数 注: Cond( A ) 2 称为 谱条件数 ,当 A 对称时有

21.21 条件数性质 条件数的基本性质 Cond( A )  1 Cond(  A ) = Cond( A ), 其中  为任意非零实数 若 R 是正交矩阵,则 Cond( R ) 2 =1 若 R 是正交矩阵,则对任意非奇异矩阵 A ,有 Cond( AR ) 2 =Cond( RA ) 2 =Cond( A ) 2

22.22 举例 例: 计算 Cond( A )  和 Cond( A ) 2 解: Cond( A )  =|| A -1 ||  || A ||   410 4 Cond( A ) 2 = max /  min  410 4 A 对称,且

23.23 举例 例: 计算 Cond( H k )  其中 H k 为 k 阶 Hilbert 矩阵 解: k =1 时, Cond( H 1 )  =1 k =2 时, Cond( H 2 )  =27 k =3 时, Cond( H 3 )  =748 Cond( H 4 )  =28375 , Cond( H 10 )  =3.510 13

24.24 解的改善(了解) ( 1 ) :使用更高 精度的数进行计算 ( 2 ):使用迭代法提高数值解的精度 其中  x 是 的解。

25.25 作业 1. 教材第 177 页: 12 , 13 , 14 , 15 , 17 , 18 , 20 , 21 注: 第 12 题中的矩阵改为 第 17 题改为矩阵 (   0 ),问  取何值时 , cond  (A) 最小。 第 18 题中的矩阵改为 2. 证明 :