04-数值积分与数值微分

数值积分 -基本概念 -Newton-Cotes 求积公式 -复合求积公式 -Romberg 求积公式 -Gauss 求积公式 -自适应积分方法 -多重积分 数值微分
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1.1 第四章 数值积分与数值微分 — 基本概念 — Newton-Cotes 公式

2.2 内容提要 数值积分 数值微分 基本概念 Newton-Cotes 求积公式 复合求积公式 Romberg 求积公式 Gauss 求积公式 自适应积分方法 多重积分

3.3 本讲内容 为什么要数值积分 数值积分基本思想 代数精度 插值型求积公式 收敛性与稳定性 数值积分基本概念 公式介绍,代数精度 余项表达式 Newton-Cotes 公式

4.4 数值积分 微积分基本公式: ( 3) f ( x ) 表达式未知 ,只有通过测量或实验得来的数据表 但是在许多实际计算问题中 ( 2) F ( x ) 难求! 甚至有时不能用初等函数表示。 如 (1) F ( x ) 表达式较复杂 时,计算较困难。如

5.5 几个简单公式 矩形公式 梯形公式 抛物线公式 基本思想 (左矩形公式,左点法) (右矩形公式,右点法) (中矩形公式,中点法) ( Simpson 公式)

6.6 数值积分一般公式 求积节点 求积系数 机械求积公式 将定积分计算转化成被积函数的 函数值 的计算 无需求原函数,易于计算机实现 一般地,用 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的一些离散点 a  x 0 < x 1 < ··· < x n  b 上的函数值的加权平均作为 f (  ) 的近似值,可得 注:求积公式并不局限于机械求积公式 !

7.7 代数精度 定义 : 如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f ( x ) ,求积公式 都精确成立,但对次数为 m +1 的多项式不精确成立,则称该求积公式具有 m 次代数精度 将 f ( x ) = 1, x , x 2 , … , x m 依次代入,公式精确成立 ; 将 f ( x ) = x m +1 代入,公式不精确成立。 代数精度的验证方法

8.8 举例 例: 试确定 A i , 使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度 解: 依次将 f ( x )= 1, x , x 2 , … , x n 代入求积公式,使其精确成立,可得 … … 存在唯一解: 所以求积公式为: 具有至少 n 次代数精度

9.9 举例 例: 试确定系数 A i , 使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度,并求出此求积公式的代数精度。 解:将 f ( x )=1, x , x 2 代入求积公式,使其精确成立,可得 解得 A 0 =1/3, A 1 =4/3, A 2 =1/3 。所以求积公式为 将 f ( x )= x 3 代入可得:公式左边 =0 ,公式右边 =0 ,公式精确成立。 将 f ( x )= x 4 代入可得:公式左边 =2/5 ,公式右边 =2/3 ,公式不精确成立。 所以此求积公式具有 3 次代数精度。

10.10 举例 例: ( 教材第 100 页,非机械求积公式 ) 试确定下面求积公式中的系数 , 使其具有尽可能高的代数精度。 将 f ( x )= x 3 代入可得,公式左边 =1/4 ,公式右边 =1/3 ,公式不精确成立。 所以该求积公式具有 2 次代数精度。 解:将 f ( x )=1, x , x 2 代入求积公式,使其精确成立,可得 解得 A 0 = 2/3, A 1 = 1/3, B 0 =1/ 6 。所以求积公式为

11.11 代数精度 可以 验证: 左矩形公式 和 右矩形公式 具有 零次 代数精度 中矩形公式 和 梯形公式 具有 一次 代数精度 性质: 任意 具有 m (  0 ) 次代数精度的机械 求积公式一定满足 练习: 抛物线公式 具有 几次 代数精度?

12.12 插值型求积公式 设求积节点为: a  x 0 < x 1 < ··· < x n  b 若 f ( x i ) 已知,则可做 n 次多项式插值: 其中 余项: 其中

13.13 插值型求积公式 当 f ( x )= 1, x , x 2 , … , x n 时,有 即公式精确成立 性质: 插值型求积公式具有至少 n 次代数精度 定理: 下面的求积公式具有至少 n 次代数精度的充要条件是该公式是插值型的 证明:板书 当 机械求积公式 具有尽可能高的代数精度时 , 它总是 插值型 的

14.14 求积公式余项 注意: 教材上 101 页的公式 (1.8) 无法验证 后面所有求积公式的 余项估计都不能使用这个方法!

15.15 求积公式的收敛性 定义 : 如果求积公式 满足 则称该求积公式是 收敛的 。 设求积节点为: a  x 0 < x 1 < ··· < x n  b ,令  x i = x i – x i -1

16.16 求积公式的稳定性 定义 : 对   > 0 ,若存在  > 0 ,使得当 ( i = 0, 1, … , n ) 时,有 则称该求积公式是 稳定的 。 定理: 若 A i > 0, i = 0, 1, … , n , 则下面的求积公式是稳定的 证明:板书

17.17 Newton-Cotes 公式 基于等分节点的插值型求积公式就称为 Newton-Cotes 公式 积分区间: [ a , b ] 求积节点: x i = a + i  h 求积公式: Cotes 系数

18.18 Newton-Cotes 公式 n = 1: 代数精度 = 1 梯形公式 代数精度 = 3 n = 2: 抛物线公式 Simpson 公式 n = 4: 科特斯 ( Cotes) 公式 代数精度 = 5

19.19 Cotes 系数表 Cotes 系数与被积函数 f ( x ) 及积分区间 [ a , b ] 无关 Cotes 系数可通过查表获得

20.20 N-C 公式 Cotes 系数具有以下特点: (1) (2) (3) 当 n  8 时,出现负数, 稳定性得不到保证 。而且当 n 较大时,由于 Runge 现象, 收敛性也无法保证 。 当 n  7 时, Newton-Cotes 公式是稳定的 一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式

21.21 N-C 公式代数精度 定理: 当 n 为偶数时, Newton-Cotes 公式至少有 n +1 次代数精度 定理: n 阶 Newton-Cotes 公式至少有 n 次代数精度 证: 只要证明当 n 为偶数时,公式对 f ( x )= x n +1 精确成立。 x = a + t h t = n - s 即

22.22 余项估计 例: 试确定梯形公式的余项表达式 板书 例: 试确定 Simpson 公式的余项表达式 板书

23.23 余项估计三步曲 求积公式余项估计三步曲: (1) 计算 代数精度,设为 m (2) 构造 f ( x ) 的 m 次插值多项式 p m ( x ) ,使得 ,求插值余项 注 1 :根据求积公式中的函数值或导数值,确定插值条件 注 2 :确保插值余项中的  n ( x ) 在求积区间内不变号 (3) 计算求积公式的余项:

24.24 余项估计 — 非机械求积公式 例: 试确定下面的求积公式的余项表达式 板书

25.25 N-C 公式的余项 定理: 当 n 是奇数时,设 f ( x )  C n +1 [ a , b ] ,则 N-C 公式的余项可表示为 当 n 是偶数时,设 f ( x )  C n +2 [ a , b ] ,则 N-C 公式的余项可表示为 证明:略 注: 不适用 非等步长 的求积公式和 非机械 求积公式!

26.26 作业 1. 教材第 135 页: 1 、 4 、 5(1) 、 5(3) 、 7 注: 习题 4 的积分区间改为 [1,2] ,计算过程中保留小数点后 3 位数字,估计误差时保留 3 位有效数字。 习题 5 使用余项估计的一般方法 ,不要使用 Taylor 展开。