04-多重积分/数值微分

二重积分 -基本思想 -计算方法 数值微分 -问题描述 -计算方法
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1.1 第四章 数值积分与数值微分 — 多重积分 — 数值微分

2.2 本讲内容 基本思想 计算方法 二重积分 问题描述 计算方法 数值微分

3.3 二重积分 基本思想: 先化累次积分,然后数值积分

4.4 举例 例: 用两点 Gauss 求积公式计算二重积分 令 ,可得 令 ,可得 解:

5.5 复合公式 复合公式 为了提高计算精度,在计算累次积分时,也可以使用复合求积公式

6.6 数值微分 已知 f ( x ) 在节点 a  x 0 < x 1 < ··· < x n  b 上的函数值, 对于 [ a , b ] 中的任意一点 , 如何计算函数在这点的导数? 插值型求导公式 构造出 f ( x ) 的插值多项式 p n ( x ) 用 p n ( x ) 的导数来近似 f ( x ) 的导数 外推算法 基本思想: 用函数值的线性组合来近似函数的导数值

7.7 插值型求导公式 插值型求导公式的余项 在节点 x i 处的余项 我们只考察节点处的导数值!

8.8 两点公式 节点 x 0 , x 1 , 步长 h = x 1 - x 0

9.9 三点等距公式 步长 h , 节点 x i = x 0 + ih , i = 0, 1, 2 变量代换: x = x 0 + th

10.10 三点等距公式 分别令 t = 0, 1, 2 , 可得

11.11 高阶导数的近似 二阶导数的近似

12.12 用差商近似导数 向前差商 向后差商 中心差商

13.13 外推算法

14.14 外推算法 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩

15.15 作业 1. 教材第 137 页: 17 , 18 提示: 习题 17 :利用插值多项式 习题 18 ,改为用三点公式计算 f ( x ) 在 x =1.2 处的一阶导数和二阶导数,并估计误差,函数值如下: f (1.1)=0.227, f (1.2)=0.207, f (1.3)=0.189