03-正交多项式

正交函数族与正交多项式 Legendre 正交多项式 Chebyshev 正交多项式 Chebyshev 零点插值 第二类 Chebyshev 正交多项式(了解) Laguerre 正交多项式(了解) Hermite 正交多项式(了解)
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1.1 第三章 函 数 逼 近 — 正交多项式

2.2 内容提要 正交多项式 正交函数族与正交多项式 Legendre 正交多项式 Chebyshev 正交多项式 Chebyshev 零点插值 第二类 Chebyshev 正交多项式(了解) Laguerre 正交多项式(了解) Hermite 正交多项式(了解)

3.3 正交函数族 函数的正交 定义 : 设 f ( x ), g ( x )  C [ a , b ] ,  ( x ) 是 [ a , b ] 上的权函数,若 则称 f ( x ) 与 g ( x ) 在 [ a , b ] 上 带权  ( x ) 正交

4.4 正交函数族 定义 : 设函数  0 ( x ),  1 ( x ),  ,  k ( x ) ,   C [ a , b ] ,  ( x ) 是 [ a , b ] 上的权函数,若 则称 {  k ( x )} 是 [ a , b ] 上 带权  ( x ) 的正交函数族 若所有 A i =1 ,则称为 标准正交函数族

5.5 正交函数举例 例: 三角函数系 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , … 在 [-  ,  ] 上是带权  ( x ) =1 的正交函数族 证: ( m, n = 1, 2, 3, … ) ( m, n = 0, 1, 2, … )

6.6 正交多项式 定义 : 设  n ( x ) 是 首项系数不为 0 的 n 次多项式 ,  ( x ) 是 [ a , b ] 上的权函数,若 则称 为 [ a , b ] 上 带权  ( x ) 正交, 称  n ( x ) 为 n 次正交多项式。

7.7 正交多项式 性质 1 : 设 为 [ a , b ] 上带权  ( x ) 正交多项式, H n 为所有次数不超过 n 的多项式组成的线性空间,则 构成 H n 的一组基 性质 2 : 设 为 [ a , b ] 上带权  ( x ) 正交多项式,则对  p ( x )  H n -1 ,有

8.8 正交多项式 性质 3 : 设 为 [ a , b ] 上带权  ( x ) 正交多项式,且 首项系数 均 为 1 ,则 其中 n = 0, 1, 2, … 这就是正交多项式的 三项递推公式 !即所有 首项系数为 1 的正交多项式族都满足这个公式,该公式也给出了正交多项式的一个计算方法。 证明: 板书

9.9 正交多项式 性质 4 : 设 为 [ a , b ] 上带权  ( x ) 正交多项式,则  n ( x ) 在 ( a , b ) 内有 n 个不同的零点 证明: 板书

10.10 几类重要的正交多项式 Legendre 多项式 Chebyshev 多项式 第二 类 Chebyshev 多项式(了解) Laguerre 多项式(了解) Hermite 多项式(了解)

11.11 勒让德( Legendre )多项式 P n ( x ) 的首项 x n 的系数为: 在 [-1 , 1] 上带权  ( x )=1 的正交多项式称为 勒让德多项式 x  [-1 , 1] , n = 1, 2, … 记为: P 0 , P 1 , P 2 , ... 则 是 首项系数为 1 的勒让德多项式 令

12.12 Legendre 多项式 勒让德多项式的性质 (1) 正交性: ( 3) 递推公式: 其中 P 0 ( x ) = 1, P 1 ( x ) = x , n = 1, 2, … ( 4) P n ( x ) 在 (-1,1) 内有 n 个不同的零点 ( 2) 奇偶性: P 2 n ( x ) 只含偶次幂, P 2 n +1 ( x ) 只含奇次幂,故

13.13 Legendre 多项式 ex31.m 勒让德多项式的表达式

14.14 切比雪夫 ( Chebyshev )多项式 在 [-1 , 1] 上带权  ( x ) 的正交多项式称为 切比雪夫多项式 ,其中 x  [-1 , 1] , n = 0, 1, 2, … Chebyshev 多项式 的表达式

15.15 Chebyshev 多项式 Chebyshev 多项式 的性质 (1) 正交性: ( 3) 递推公式: 其中 T 0 ( x ) = 1, T 1 ( x ) = x , n = 1, 2, … ( 2) 奇偶性: T 2n ( x ) 只含偶次幂, T 2n +1 ( x ) 只含奇次幂,故 cos( n +1)  + cos( n -1)  = 2 cos  cos n  x = cos 

16.16 Chebyshev 多项式 ( 4) T n ( x ) 在 (-1,1) 内有 n 个不同的零点 : ( k = 1, 2, … , n ) ( 5) T n ( x ) 在 [-1 , 1] 上有 n+1 个极值点 : ( k = 0, 1, … , n ) ( 6) T n ( x ) 的首项系数为 2 n -1 ,且 | T n ( x ) |  1

17.17 定理: 记 为 所有首项系数 为 1 的 n 次多项式组成的集合 ,则 对 有 首项系数为 1 的 Chebyshev 多项式 ( 7) 令 则 为 首项系数为 1 的 Chebyshev 多项式。 且 即 在集合 中 无穷范数 最小。 等价描述: 证明 :略

18.18 首项系数为 1 的 Chebyshev 多项式 ① 这里的无穷范数是指 C[-1, 1] 上的无穷范数。 ② 定理中的结论可推广为“ 在所有次数不 超过 n 的首项系数 为 1 的 多项式中 , 的 无穷范数最小 ” ③ 该结论可用于计算 n 次多项式在 [-1,1] 上 的 n -1 次 最佳一致逼近多项式 。 性质: 设 f ( x )  H n ,且首项系数为 a n 0 ,则 f ( x ) 在 [-1,1] 上的 n -1 次最佳一致逼近多项式为 证明:留作练习 几点注记:

19.19 Chebyshev 多项式 例: 求 f ( x )=2 x 3 + x 2 +2 x -1 在 [-1,1] 上的 二次最佳一致逼近多项式。 解: 设 p ( x ) 是 f ( x ) 在 [-1,1] 上的 二次最佳一致逼近多项式,则由前面的性质可知 思考 : 如何计算 n 次多项式在 [ a , b ] 上 的 n -1 次最佳一致逼近 多项式?

20.20 Chebyshev 多项式 Chebyshev 多项式 的表达式 ex32.m

21.21 Chebyshev 零点 插值 以 Chebyshev 多项式的 零点 作为 插值节点 进行插值 好处: 所有插值多项式中 , 总体插值误差最小 定理: 设 f ( x )  C n +1 [-1, 1] ,插值节点 x 0 , x 1 , … , x n 为 T n +1 ( x ) 的 n +1 个零点,则 用 Chebyshev 多项式的零点插值

22.22 Chebyshev 零点 插值 若 f ( x )  C n +1 [ a , b ] ,怎么办? 作变量替换 插值节点 ( k = 0, 1, … , n ) 插值误差

23.23 举例 例: ( 教材 64 页,例 4) 求 在 [0 , 1 ] ,上的四次 Chebyshev 插值多项式 L 4 ( x ) ,并估计误差。 解:板书 例: ( 教材 65 页,例 5 ,上机 ) 函数 ,插值区间 [- 5, 5 ] ,试分别用等距节点和 Chebyshev 节点作 10 次多项式插值,画图比较两种插值的数值效果。 ex33.m

24.24 其他正交多项式 第二类 Chebyshev 多项式 Laguerre 多项式 Hermite 多项式 其他 正交多项式 (了解)

25.25 第二类 Chebyshev 第二类 Chebyshev 多项式 x  [-1 , 1] , n = 0, 1, 2, … 递推公式: 在 [-1 , 1] 上带权 正交,即 其中 U 0 ( x ) = 1, U 1 ( x ) = 2 x , n = 1, 2, …

26.26 Laguerre 多项式 拉盖尔( Laguerre ) 多项式 x  [ 0,  ] , n = 0, 1, 2, … 递推公式: 其中 L 0 ( x ) = 1, L 1 ( x ) = 1- x , n = 1, 2, … 在 [ 0,  ] 上带权 正交,即

27.27 Hermite 多项式 埃尔米特( Hermite ) 多项式 x  (-,+) , n = 0, 1, 2, … 递推公式: 其中 H 0 ( x ) = 1, H 1 ( x ) = 2 x , n = 1, 2, … 在 (-,+) 上带权 正交,即

28.28 作业 1. 教材第 94 页: 7 , 8 , 11 2. 补充题:证明 下面的结论 性质: 设 f ( x )  H n ,且首项系数为 a n 0 ,则 f ( x ) 在 [-1,1] 上的 n -1 次最佳一致逼近多项式为 提示: 第 8 题可利用正交多项式的递推公式 (P. 58, 定理 4, 注 : 该定理只对首项系数为 1 时成立 ) 注: 教材 P. 63 例 3 指的是二次最佳 一致 逼近多项式。