03-函数逼近--基本概念

基本概念与预备知识 正交多项式 最佳平方逼近 曲线拟合与最小二乘 有理逼近与 Pade 逼近 三角多项式逼近与快速 Fourier 变换
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1.1 第三章 函 数 逼 近 — 基本 概念

2.2 内容提要 基本概念与预备知识 正交多项式 最佳平方逼近 曲线拟合与最小二乘 有理逼近与 Pade 逼近 三角多项式逼近与快速 Fourier 变换

3.3 什么是函数逼近 已知数据表,能否找到一个简单易算的 p ( x ) ,使得 p ( x i ) = y i x 0 x 1 … x m y 0 y 1 … y m 给定 复杂函数 f ( x ) ,能否 在某个 简单易算 的函数类 中 找到一个 p ( x ) ,使得 p ( x ) 在某种度量下距离 f ( x ) 最近,即最佳逼近? 给定数据表 ( 带误差 ) , 能否 能否 在某个 简单易算 的函数类 中 找到一个 p ( x ) ,使得 p ( x ) 在某种度量下是这些数据的最佳逼近? 插值 函数逼近 曲线拟合

4.4 预备知识 线性空间 范数 内积、带权内积 常见内积空间

5. 5 预备 知识 线性空间、线性相关、线性无关 基、维数、有限维空间与无限维空间 常见线性空间: R n 、 C n 、 H n 、 C [ a , b ] 、 C n [ a , b ] 定理: ( Weierstrass 定理) 设 f ( x )  C [ a , b ] ,则对   > 0 ,总存在一个多项式 p ( x ) ,使得 在 [ a , b ] 上一致成立。 证明 :略

6. 6 范数与 赋范线性空间 定义: 设 S 为线性空间, x  S ,若存在唯一实数 || · || ,满足 || x ||  0 , 等号当且仅当 x = 0 时成立 (正定性) ||  x || = | | · || x || ,   R ( 齐次性 ) || x+y ||  || x || + || y || (三角不等式) 则称 || · || 为 S 上的范数, ( S , || · ||) 称为 赋范线性空间

7.7 赋范线性空间 R n 线性空间 R n 上常见的范数有 1 - 范数 : 2- 范数:  - 范数(有时也称最大范数): p - 范数:

8.8 赋范线性空间 C[a,b] 线性空间 C [ a , b ] 上 的常见范数有 1- 范数: 2- 范数:  - 范数: p - 范数:

9.9 , 等号当且仅当 u = 0 时成立 内积与内积空间 定义: 设 X 是数域 K ( K 可以是 R 或 C ) 上的线性空间,对  u , v  X , 有 K 中的一个数 ( u , v ) 与之对应,且满足 称 ( u , v ) 为 X 上的内积,定义了内积的线性空间称为 内积空间 实数域上的内积空间称为 欧氏空间 复数域上的内积空间称为 酉空间

10.10 常见内 积空间 内积空间 R n 内积空间 C n 内积空间 C[ a , b ]

11.11 正交与 Cauchy-Schwarz 不等式 定义 : 设 X 是内 积空间 , u , v  X ,若 ( u , v ) = 0 , 则 称 u , v 正交。 定理 ( Cauchy-Schwarz 不等式 ) 设 X 是数 域 K 上 的内积空间,则对任意 u , v  X ,有 思考: 等号 成立的充要条件是什么 ? 注:正交是向量相互垂直概念的推广。 证明:板书(教材有小错误)

12.12 定理 : G 非 奇异当且仅当 u 1 , u 2 ,  , u n 线性无关 。 Gram 矩阵 设 X 是内积空间, u 1 , u 2 ,  , u n  X ,定义 Gram 矩阵 证明: 板书

13.13 设 X 是内积空间,对任意 u  X , 定义 可以验证它是一个范数,称为 内积导出范数 。 内积与导出范数 例: R n 上的内积: 导出的范数为 ,即 2- 范数。

14.14 设 x , y  R n ,给定 正实数  1 ,  2 , ,  n , 称 为带权 内积,  1 ,  2 , ,  n 称为 权系数 带权内积 C n 上的带权内积 注:权系数必须全部是正数! (思考:为什么)

15.15 定义: 设  ( x ) 是 [ a , b ] 上的非负函数,满足 则称  ( x ) 是 [ a , b ] 上一个权函数 权函数 存在且为有限值 对 [ a , b ] 上的任意非负连续函数 g ( x ) ,满足 [ a , b ] 可以是无限区间,即 a 可以是负无穷 , b 可以 是正无穷 权函数非负 权函数与 定义区间有关 若 , 则 ( k = 0, 1, 2, … )

16.16 常见的权函数

17.17 C[ a , b ] 带权内积 带权内积 设  ( x ) 是 [ a , b ] 上的权函数, f ( x ), g ( x )  C [ a , b ] 导出范数

18.18 性质: 设  0 ,  1 ,  ,  n  C [ a , b ] ,则  0 ,  1 ,  ,  n 线性无关当且仅当 det ( G )  0 ,其中 G 为 Gram 矩阵,即 C[ a , b ] 带权内积

19.19 函数逼近 最佳逼近函数 最佳逼近多项式 最佳平方逼近多项式 最佳一致逼近多项式

20.20 函数逼近 定义: 记  为某个函数空间,给定函数 f ( x ) C [ a , b ] ,若 g* ( x )  使得 则称 g* ( x ) 为 f ( x ) 在  中的 [ a , b ] 上的 最佳逼近函数。 什么是最佳逼近 函数逼近中的关键两点: 确定函数空间,即用什么样的函数来逼近 f ( x ) 确定度量标准,即采用什么样的评判标准

21.21 最佳逼近多项式 定义: 记 H n 为所有次数不超过 n 的多项式组成的集合,给定函数 f ( x ) C [ a , b ] ,若 p* ( x ) H n 使得 则 称 p* ( x ) 为 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的 n 次最佳逼近多项式 。 注 :取不同的范数,可以定义不同的最佳逼近方式

22.22 最佳逼近多项式 最佳一致逼近 多项式 最佳 平方逼近多项式

23.23 曲线拟合 称 g * ( x ) 为 f ( x ) 的 最小二乘拟合 。 寻找 g* ( x )   ,使得 给定 f ( x ) C [ a , b ] 的数据表 最小二乘拟合 x 0 x 1 … x m y 0 y 1 … y m 若 = H n , 则称 g* ( x ) 为 n 次最小二乘拟合 多项式

24.24 作业 1. 教材 第 94 页: 3 , 4 , 5 , 6 提示: 第 6 题:如果 不是,说明原因;如果是,给出证明。