03-最佳平方逼近

最佳平方逼近 最佳平方逼近多项式 利用正交多项式计算最佳平方逼近多项式 Chebyshev 级数
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1.1 第三章 函 数 逼 近 — 最佳 平方逼近

2.2 内容提要 最佳平方逼近 最佳 平方逼近 最佳 平方逼近多项式 利用正交多项式计算最佳平方逼近多项式 Chebyshev 级数

3.3 设 f ( x ) C [ a , b ] ,  0 ( x ),  1 ( x ),  ,  n ( x )  C [ a , b ] 线性无关,令 求 S* ( x )   , 使得 我们称 S* ( x ) 为 f ( x ) 在  中的 最佳 平方逼近。 这里的范数是带权内积导出范数,即 什么是最佳 平方逼近

4.4 怎么 计算 最佳平方逼近 对任意 S ( x )   , 可设 S ( x ) = a 0  0 ( x ) + a 1  1 ( x ) + · · · + a n  n ( x ) 则“ 求 S* ( x ) ”等价于“ 求 下面的多元函数的最小值 点 ” k = 0, 1, …, n

5.5 最佳 平方逼近的计算(续) 即 k = 0, 1, …, n 法方程 性质: , k = 0, 1, …, n

6.6 最佳 平方逼近的存在唯一性 法方程存在唯一解 det( G )  0  0 ,  1 ,  ,  n 线性无关 设法方程的解为: a 0 * , a 1 *,  , a n * , 令 S* ( x ) = a 0 *  0 + a 1 *  1 + · · · + a n *  n ( x ) 定理 : S* ( x ) 是 f ( x ) 在  中的唯一最佳平方逼近函数,且逼近误差为 证明:板书

7.7 最佳平方逼近多项式 即 f ( x ) C [ a , b ] 在 H n 中的最佳平方逼近,记为 H Hilbert 矩阵 H 严重病态 只适合求低次最佳逼近 最佳平方逼近多项式 若 [ a , b ]=[0, 1] , 取 H n 的一组基: 1, x , x 2 ,  , x n ,得法方程 计算方法

8.8 求 在 [ 0, 1 ] 上的一次最佳平方逼近多项式 举例 例: ( 教材 68 页,例 6) 解: S* ( x )  0.934 + 0.426 x

9.9 用正交基求最佳平方逼近 若  0 ,  1 ,  ,  n 正交,则法方程的解为 k = 0, 1, …, n 误差 Bessel 不等式

10.10 广义 Fourier 级数 设  0 ,  1 ,  2 ,  是正交函数族,则称 为 f ( x ) 的 广义 Fourier 级数 其中 为 广义 Fourier 系数 广义 Fourier 级数

11.11 正交多项式最佳逼近 定理: 若  0 ,  1 ,  ,  n 是正交多项式族, S n * ( x ) 为 f ( x ) 的 n 次最佳平方逼近多项式,则 用正交多项式作最佳逼近 证明:略

12.12 Legendre 最佳逼近 其中 设 f ( x ) C [-1, 1] ,  ( x ) = 1 , 则 f ( x ) 的 n 次最佳平方逼近多项式为 误差 Legendre 多项式求最佳逼近

13.定理: 在所有首项系数为 1 的 n 次多项式中, 在 [-1, 1] 上与零的平方逼近误差最小,即 其中 是首项系数为 1 的 n 次 Legendre 多项式 13 Legendre 最佳平方逼近 定理: 若 f ( x ) C 2 [-1, 1], 则对任意 x  [-1, 1] 和   > 0 ,当 n 充分大时,有 证明:略 证明:板书

14.14 求 在 [ -1, 1 ] 上的三次最佳平方逼近多项式 举例 例: ( 教材 71 页,例 7) S 3 * ( x )  0.1761 x 3 + 0.5367 x 2 + 0.9979 x + 0.9963 解: 直接计算可得 误差

15.15 一般区间上的最佳平方逼近多项式 设 f ( x ) C [ a , b ] ,  ( x ) = 1 , 计算 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最佳平方逼近 多项式。 变量代换 [ a , b ] [-1, 1] f ( x ) S* ( t )

16.16 Chebyshev 级数 在广义 Fourier 级数中取  k = T k , k = 0, 1, 2, … 其中 一致收敛性 :若 f ” ( x ) 在 [-1, 1] 上分段连续,则 Chebyshev 级数

17.17 Chebyshev 级数 部分和 误差 结论: 可 看作是 f ( x ) 在 [-1, 1] 上 的 n 次近似 最佳一致逼近多项式。

18.18 求 在 [ -1, 1 ] 上的 Chebyshev 级数部分和 举例 例: ( 教材 72 页,例 8) 误差 解: 直接计算可得

19.19 作业 1. 教材第 94 页: 12 , 13 , 14(1) , 14(3) , 15 提示: 暂无