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1 .1 第三章 函 数 逼 近 — 最佳 平方逼近
2 .2 内容提要 最佳平方逼近 最佳 平方逼近 最佳 平方逼近多项式 利用正交多项式计算最佳平方逼近多项式 Chebyshev 级数
3 .3 设 f ( x ) C [ a , b ] ， 0 ( x ), 1 ( x ), , n ( x ) C [ a , b ] 线性无关，令 求 S* ( x ) ， 使得 我们称 S* ( x ) 为 f ( x ) 在 中的 最佳 平方逼近。 这里的范数是带权内积导出范数，即 什么是最佳 平方逼近
4 .4 怎么 计算 最佳平方逼近 对任意 S ( x ) ， 可设 S ( x ) = a 0 0 ( x ) + a 1 1 ( x ) + · · · + a n n ( x ) 则“ 求 S* ( x ) ”等价于“ 求 下面的多元函数的最小值 点 ” k = 0, 1, …, n
5 .5 最佳 平方逼近的计算（续） 即 k = 0, 1, …, n 法方程 性质： ， k = 0, 1, …, n
6 .6 最佳 平方逼近的存在唯一性 法方程存在唯一解 det( G ) 0 0 , 1 , , n 线性无关 设法方程的解为： a 0 * , a 1 *, , a n * , 令 S* ( x ) = a 0 * 0 + a 1 * 1 + · · · + a n * n ( x ) 定理 ： S* ( x ) 是 f ( x ) 在 中的唯一最佳平方逼近函数，且逼近误差为 证明：板书
7 .7 最佳平方逼近多项式 即 f ( x ) C [ a , b ] 在 H n 中的最佳平方逼近，记为 H Hilbert 矩阵 H 严重病态 只适合求低次最佳逼近 最佳平方逼近多项式 若 [ a , b ]=[0, 1] ， 取 H n 的一组基： 1, x , x 2 , , x n ，得法方程 计算方法
8 .8 求 在 [ 0, 1 ] 上的一次最佳平方逼近多项式 举例 例： ( 教材 68 页，例 6) 解： S* ( x ) 0.934 + 0.426 x
9 .9 用正交基求最佳平方逼近 若 0 , 1 , , n 正交，则法方程的解为 k = 0, 1, …, n 误差 Bessel 不等式
10 .10 广义 Fourier 级数 设 0 , 1 , 2 , 是正交函数族，则称 为 f ( x ) 的 广义 Fourier 级数 其中 为 广义 Fourier 系数 广义 Fourier 级数
11 .11 正交多项式最佳逼近 定理： 若 0 , 1 , , n 是正交多项式族， S n * ( x ) 为 f ( x ) 的 n 次最佳平方逼近多项式，则 用正交多项式作最佳逼近 证明：略
12 .12 Legendre 最佳逼近 其中 设 f ( x ) C [-1, 1] ， ( x ) = 1 ， 则 f ( x ) 的 n 次最佳平方逼近多项式为 误差 Legendre 多项式求最佳逼近
13 .定理： 在所有首项系数为 1 的 n 次多项式中， 在 [-1, 1] 上与零的平方逼近误差最小，即 其中 是首项系数为 1 的 n 次 Legendre 多项式 13 Legendre 最佳平方逼近 定理： 若 f ( x ) C 2 [-1, 1], 则对任意 x [-1, 1] 和 > 0 ，当 n 充分大时，有 证明：略 证明：板书
14 .14 求 在 [ -1, 1 ] 上的三次最佳平方逼近多项式 举例 例： ( 教材 71 页，例 7) S 3 * ( x ) 0.1761 x 3 + 0.5367 x 2 + 0.9979 x + 0.9963 解： 直接计算可得 误差
15 .15 一般区间上的最佳平方逼近多项式 设 f ( x ) C [ a , b ] ， ( x ) = 1 ， 计算 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最佳平方逼近 多项式。 变量代换 [ a , b ] [-1, 1] f ( x ) S* ( t )
16 .16 Chebyshev 级数 在广义 Fourier 级数中取 k = T k , k = 0, 1, 2, … 其中 一致收敛性 ：若 f ” ( x ) 在 [-1, 1] 上分段连续，则 Chebyshev 级数
17 .17 Chebyshev 级数 部分和 误差 结论： 可 看作是 f ( x ) 在 [-1, 1] 上 的 n 次近似 最佳一致逼近多项式。
18 .18 求 在 [ -1, 1 ] 上的 Chebyshev 级数部分和 举例 例： ( 教材 72 页，例 8) 误差 解： 直接计算可得
19 .19 作业 1. 教材第 94 页： 12 ， 13 ， 14(1) ， 14(3) ， 15 提示： 暂无
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