02-函数插值--分段低次插值

用分段低次多项式函数来逼近原函数 f(x) 常见的分段低次插值 分段线性插值 — 每个小区间上用线性多项式来逼近 f(x) 分段三次 Hermite 插值 — 每个小区间上用三次 Hermite多项式来逼近 f(x) 三次样条插值 — 要求插值函数在整个插值区间上都二阶连续可导
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1.1 第二章 函数 插值 — 分段 低次 插值

2.为什么分段低次插值 2 高次多项式插值的病态性质: n   时 L n ( x ) 不一定收敛于 f ( x ) 插值多项式的次数并非越高越好! 例: Runge 函数的等距节点插值多项式 ex22.m

3.Runge 现象 3

4.Runge 现象 4

5.Runge 现象 5

6.分段 低次插值 6 用 分段 低次多项式 函数来逼近原函数 f ( x ) 常见的分段低次插值 分段线性插值 分段三次 Hermite 插值 — 每个小区间上用 线性多项式 来逼近 f ( x ) — 每个小区间上用 三次 Hermite 多项式 来逼近 f ( x ) 三次样条插值 — 要求插值函数在整个插值区间上都 二阶连续可导

7.内容提要 7 分段低次插值 分段线性插值 分段三次 Hermite 插值(两点三次 Hermite ) 三次样条插值(见下一节)

8.8 分段 线性插值 设 a  x 0 < x 1 < ··· < x n  b 为 [ a , b ] 上的互异节点 f ( x ) 在这些节点上的函数值为 y 0 , y 1 , … , y n 记 , 求分段函数 I h ( x ) 满足 I h ( x ) 在每个小区间 [ x k , x k+ 1 ] 上是线性函数 分段线性插值

9.9 分段 线性插值 由以上条件直接可得 I h ( x ) 在小区间 [ x k , x k+ 1 ] 上的表达式 x  [ x k , x k+ 1 ] , k = 0, 1, … , n -1

10.10 误差估计 在小区间 [ x k , x k+ 1 ] 上有 当 h  0 时, I h ( x ) 在 [ a , b ] 上 一致收敛 到 f ( x ) 分段线性插值的缺点: I h ( x ) 在节点 不可导 误差估计

11.10 误差估计 在小区间 [ x k , x k+ 1 ] 上有 当 h  0 时, I h ( x ) 在 [ a , b ] 上 一致收敛 到 f ( x ) 分段线性插值的缺点: I h ( x ) 在节点 不可导 误差估计

12.12 分段 三次 Hermite 插值 由以上条件直接可得 I h ( x ) 在小区间 [ x k , x k+ 1 ] 上的表达式 x  [ x k , x k+ 1 ] , k = 0, 1, … , n -1 误差估计(教材第 41 页定理 4 )

13.13 插值举例 例: 函数 , 插值区间 [- 5, 5 ] ,取等距节点(将插值区间 10 等分),试分别用分段线性插值和分段三次 Hermite 插值画出 f ( x ) 的近似图像。 ex27.m

14.14 分段插值注记 分段三次 Hermite 插值比分段线性插值效果更好 但公式较复杂,且需要额外信息(导数) 基本思想: 用分段低次多项式来代替单个多项式 具体作法: 优点: 公式简单 、 运算量小 、 稳定性好、收敛性 … (1) 把整个插值区间分割成多个小区间 (2) 在每个小区间上作低次插值多项式 (3) 将所有插值多项式拼接成一个多项式

15.15 作业 1. 教材第 48 页: 15 , 17 , 18 , 19 提示: 第 15 题:参考 Lagrange 插值余项公式的证明 思想。 第 17 题:写出 I h ( x ) 在小区间 [ x k , x k +1 ] 上的 表达式,分别计算 I h ( x ) 和 f ( x ) 在每个小区间中点处的值(可以借助计算器),用 表格 形式给出,误差通过 插值余项 来估计。 第 18 题和 19 题: 写出插值函数在小区间 [ x k , x k +1 ] 上的表达式即 可。 第 19 题:分段 两点三次 Hermite 插值 思考: 给出等距分段抛物插值多项式的误差上界 。