1 .1 第二章 函数 插值 — Hermite 插值

2 .为什么 Hermite 插值 2 在许多实际应用中，不仅要求 函数值 相等，而且要求若干阶 导数 也相等，如机翼设计 等。 （ i = 0, 1, …, n ） 满足 函数值 相等且 导数 也相等的插值方法称为 Hermite 插值

3 .内容提要 3 Hermite 插值 重节点差商与 Taylor 插值 三点三次 Hermite 插值 两点三次 Hermite 插值 我们这里只考虑 对 一阶导数 有要求的情形。

4 .4 重节点差商 定理： 设 f ( x )  C n [ a , b ] ， x 0 , … , x n 为 [ a , b ] 上的互异节点，则 f [ x 0 , … , x n ] 是其变量的连续函数 差商的一个性质 一般地， n 阶重节点差商定义为 重节点差商

5 .5 Taylor 插值 在 Newton 插值公式中，令 x i  x 0 , i = 1, … , n , 则 余项 Taylor 插值就是在一个节点 x 0 上的 n 次 Hermite 插值 什么是 Taylor 插值

6 .6 Hermite 插值 一般来说，给定 m +1 个插值条件，就可以构造出一个 m 次 Hermite 插值多项式 两个典型的 Hermite 插值 三点三次 Hermite 插值 两点三次 Hermite 插值 插值节点： x 0 , x 1 , x 2 插值条件： p ( x i ) = f ( x i ) ， i = 0, 1, 2 ， p ’ ( x 1 ) = f ’ ( x 1 ) 插值节点： x 0 , x 1 插值条件： p ( x i ) = f ( x i ) ， p ’ ( x i ) = f ’ ( x i ) ， i = 0, 1

7 .7 三点三次 Hermite 插值 插值节点： x 0 , x 1 , x 2 插值条件： p ( x i ) = f ( x i ) ， i = 0, 1, 2 ， p ’ ( x 1 ) = f ’ ( x 1 ) 三点三次 Hermite 插值 可设 将 p ’ ( x 1 ) = f ’ ( x 1 ) 代入可得

8 .8 三点三次 Hermite 插值 由于 x 0 , x 1 , x 2 是 R ( x ) 的零点，且 x 1 是二重零点，故可设 与 Lagrange 插值余项公式的推导过程类似，可得 其中  x 位于 由 x 0 , x 1 , x 2 和 x 所界定的区间 内 余项公式

9 .9 插值举例 例： 函数 f ( x ) = x 3/2 ，插值条件如下 试给出三次 Hermite 插值多项式，并写出余项 x i ƒ ( x i ) 一阶差商 二阶差商 1/4 1 9/4 1/8 1 27/8 7/6 19/10 11/30 f (1/4) = 1/8 ， f (1) = 1 ， f (9/4) = 27/8 ， f ’ (1) = 3/2 解 ： 作差商表 将 p ’ (1) = f ’ (1) = 3/2 代入可得 A = - 14/225

10 .10 插值举例 余项

11 .11 两点三次 Hermite 插值 插值节点： x 0 , x 1 插值条件： p ( x i ) = f ( x i ) = y i ， p ’ ( x i ) = f ’ ( x i ) = m i ， i = 0, 1 两 点三次 Hermite 插值 仿照 Lagrange 多项式的思想，设 其中 均为 3 次多项式，且满足 i , j = 0, 1

12 .12 两点三次 Hermite 插值 将 插值条件 代入立即可得 如何确定  0 ( x ),  1 ( x ),  0 ( x ),  1 ( x ) 的表达式？  0 ( x )

13 .13 两点三次 Hermite 插值 同理可得 相类似地，可以推出

14 .14 两点三次 Hermite 插值 所以，满足插值条件 p ( x 0 ) = f ( x 0 ) = y 0 ， p ’ ( x 0 ) = f ’ ( x 0 ) = m 0 p ( x 1 ) = f ( x 1 ) = y 1 ， p ’ ( x 1 ) = f ’ ( x 1 ) = m 1 的 三次 Hermite 插值多项式为 余项

15 .15 作业 1. 教材 第 48 页： 13 ， 14 ， 16 提示 ：要充分利用插值条件来尽可能地简化运算 第 13 题 ： 可借助 Taylor 展开式 第 1 4 题 ： 不要直接代公式，自己推导，一步一步计算 第 16 题：注意 x = 0 是 P ( x ) 的二重零点