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1 .1 第二章 函 数 插 值 — 多项式 插值 — Lagrange 插值
2 .为什么插值 2 大多数实际 问题都可用函数来表示某种内在规律的数量关系 但 函数通常无法 给出，只有通过实验或观测得到的数据表 如何根据这些数据推测或估计其它点的函数值？ 例： 已测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（ M） 466 741 950 1422 1634 水温（ o C ） 7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500、600、 800 米…）处的水温。 数学工具 ：数值插值技术
3 .如果存在一个 简单易算 的函数 p ( x ) ， 使得 p ( x i ) = f ( x i )， i = 0, 1, ... , n 则称 p ( x ) 为 f ( x ) 的 插值函数 什么是插值 3 已知函数 y = f ( x ) 在 [ a , b ] 上有定义，且已经测得在点 a x 0 < x 1 < ··· < x n b 处的函数值为 y 0 = f ( x 0 )，… ， y n = f ( x n ) [ a , b ] 为插值区间， x i 为插值节点， p ( x i ) = f ( x i ) 为插值条件 插值节点 无需递增排列 ，但必须确保 互不相同 ！ 求插值函数 p ( x ) 的方法就称为 插值法
4 .常用插值方法 4 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 多项式插值： p ( x ) 为多项式，多项式最常用的插值函数 分段多项式插值 ： p ( x ) 为分段多项式 三角插值： p ( x ) 为三角函数 有理插值： p ( x ) 为有理函数 …… P ( x ) 常用插值法
5 .内容提要 5 多项式插值 Lagrange 插值 差商与 Newton 插值 Hermite 插值 分段低次插值 三次样条插值
6 .6 多项式插值 多项式插值 已知函数 y = f ( x ) 在 [ a , b ] 上 n + 1 个点 a x 0 < x 1 < · · · < x n b 处的函数值为 y 0 = f ( x 0 )，… ， y n = f ( x n ) 求次数 不超过 n 的多项式 p ( x ) = c 0 + c 1 x + · · · + c n x n ， 使得 p ( x i ) = y i ， i = 0, 1, ... , n 注意： p ( x ) 的次数有可能小于 n
7 .7 多项式插值 定理 （多项式插值的存在唯一性） 满足上述条件的多项式 P ( x ) 存在且唯一。 注：该定理的证明过程事实上也给出了一种求 p ( x ) 的方法，但较复杂，一般不用！后面将给出较简单的求法 证明 ：板书（ Vandermonde 行列式）
8 .线性插值 例 （ 板书 ）： 线性插值，即求一次多项式 p ( x ) ，满足 p ( x 0 ) = y 0 ， p ( x 1 ) = y 1 p ( x 0 ) = y 0 p ( x 1 ) = y 1 点斜式 重新整理 我们注意到， p ( x ) 是两个一次多项式的线性组合 令 则 进一步观察可知： 为什么能写成这个形式？
9 .9 抛物线插值 例： 抛物线插值，即 求二次 多项式 p ( x ) ，满足 p ( x 0 ) = y 0 ， p ( x 1 ) = y 1 ， p ( x 2 ) = y 2 想法：如果能构造三个二次多项式 l 0 ( x ), l 1 ( x ), l 2 ( x ), 满足 问题：如何构造 l 0 ( x ), l 1 ( x ), l 2 ( x ) ？ 待定系数法
10 .10 内容提要 多项式插值 Lagrange 插值 差商与 Newton 插值 Hermite 插值 分段低次插值 三次样条插值 基函数法 Lagrange 基函数 Lagrange 插值余项与误差估计
11 .11 基函数插值法 基函数 插值法 通过基 函数来构造 插值多项式的方法 就 称为 基函数 插值 法 记 Z n ( x ) = { 次数不超过 n 的多项式的全体 } n +1 维 设 z 0 ( x ), z 1 ( x ), ... , z n ( x ) 构成 Z n ( x ) 的一组基，则插值多项式可表示为 p ( x ) = a 0 z 0 ( x ) + a 1 z 1 ( x ) + · · · + a n z n ( x ) 寻找合适的基函数 确定插值多项式在这组基下的线性表示系数
12 .12 Lagrange 插值 Lagrange 基函数 定义： 设 l k ( x ) 是 n 次多项式， 在节点 x 0 , x 1 , … , x n 上满足 则 称 l k ( x ) 为节点 x 0 , x 1 , … , x n 上的 n 次 Lagrange 插值 基函数 通过构造法，可求得
13 .13 Lagrange 插值 两点说明 l 0 ( x ) , l 1 ( x ) , … , l n ( x ) 构成 Z n ( x ) 的一组 基 l 0 ( x ) , l 1 ( x ) , … , l n ( x ) 与插值节点有关，但与 f ( x ) 无关
14 .14 Lagrange 插值 如何用 Lagrange 基函数求 P ( x ) 设 p ( x ) = a 0 l 0 ( x ) + a 1 l 1 ( x ) + · · · + a n l n ( x ) 将 p ( x i ) = y i ， i = 0, 1, ... , n 代入，可得 a i = y i ， i = 0, 1, ... , n p ( x ) = y 0 l 0 ( x ) + y 1 l 1 ( x ) + · · · + y n l n ( x ) L n ( x ) 就称为 f ( x ) 的 Lagrange 插值多项式
15 .15 线性与抛物线插值 两种特殊情形 线性插值多项式（一次插值多项式）： n = 1 抛物线插值多项式（二次插值多项式）： n = 2 注： n 次插值多项式 L n ( x ) 通常是 n 次的，但有时也会低于 n 次。如：二次插值中，如果三点共线，则 L n ( x ) 为直线
16 .16 插值举例 例： 已知函数 y = ln x 的函数值如下 解 ： x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ln x - 0.9163 - 0.6931 - 0.5108 - 0.3567 - 0.2231 试分别用 线性插值 和 抛物线插值 计算 ln 0.54 的 近似值。 线性插值 ： 取 x 0 = 0.5 , x 1 = 0.6 得 将 x= 0.54 代入可得： ln 0.54 L 1 (0.54) = - 0.6202 为了减小截断误差，通常选取插值点 x 邻接的插值节点 ex21.m
17 .17 插值举例 抛物线插值 ： 取 x 0 = 0.4 , x 1 = 0.5 , x 2 = 0.6, 可得 ln 0.54 L 2 (0.54) = - 0.6153 在实际计算中，一般不需要给出插值多项式的具体表达式 ln 0.54 的精确值为： - 0.616186 ··· 可见，抛物线插值的精度比线性插值要高 Lagrange 插值简单方便，只要取定节点就可写出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机 实现。
18 .18 误差估计 估计误差 插值余项 定理： 设 f ( x ) C n [ a , b ] ( n 阶连续可微 ) ，且 f ( n +1) ( x ) 在 ( a , b ) 内存在，则对 x [ a,b ] ，存在 x ( a , b ) 使得 其中 证明 ： 板书 注：余项中的 x 与 x 是相关的
19 .19 插值余项 由插值条件可知： R n ( x i )=0, i =0, 1, …, n R n ( x ) 在[ a , b ] 上至少有 n +1 个零点 对任意给定的 x [ a,b ] ( x x i , i =0, 1, ..., n ) ，构造辅助函数 则 在 [ a, b ] 中有 n +2 个互不相同的零点： x, x 0 , … , x n R n ( x ) 可写成 罗尔 定理
20 .20 插值余项 由 Rolle 定理 可知 在 ( a , b ) 内至少有 n +1 个不同的零点； 同理可知 在 ( a , b ) 内至少有 n 个零点； 又 条件： f ( x ) C n [ a , b ] ，且 f ( n +1) ( x ) 在 ( a , b ) 内存在 以此类推，可知 在 ( a , b ) 内至少有一个零点，设为 x ， 即 ， x ( a , b ) 。
21 .21 插值余项 线性插值（两点插值，即 n =1 ） 两个特例 抛物线插值（三点插值，即 n =2 ）
22 .22 插值余项 余项公式只有当 f ( x ) 的高阶导数存在时才能使用 几点说明 计算点 x 上的近似值时，应尽量选取与 x 相近插值节点 若 ， 则 x 与 x 有关，通常无法确定 , 实际使用中通常是估计其上界
23 .23 Lagrange 基函数性质 Lagrange 基函数的两个重要性质 当 f ( x ) 为一个次数 n 的多项式时，有 故 即 n 次插值多项式对于次数 n 的 多项式是 精确 的 若 f ( x ) = x k ， k n ，则有 特别地，当 k = 0 时有
24 .24 插值误差举例 例： 已知函数 y = ln x 的函数值如下 x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ln x - 0.9163 - 0.6931 - 0.5108 - 0.3567 - 0.2231 试估计 线性插值 和 抛物线插值 计算 ln 0.54 的误差 解 ： 线性插值 x 0 = 0.5 , x 1 = 0.6, (0.5, 0.6)
25 .25 插值误差举例 抛物线插值 ： x 0 = 0.4 , x 1 = 0.5 , x 2 = 0.6, (0.4, 0.6) 抛物线插值 通常 优于线性插值。 但绝对不是次 数越高就越好， 嘿嘿 …
26 .26 插值误差举例 例： 函数 ，插值区间 [- 5, 5 ] ，取等距节点， 试画出插值多项式 L 的图像 ex22.m 例 ： 设 l i ( x ) 是关于点 x 0 , x 1 , … , x 5 的 Lagrange 插值基函数 . 证明 : 证明 ： 板书
27 .27 插值误差举例 例 ： 设 f ( x ) C 2 [ a , b ] （二 阶 连续可导） , 证明 : 其中 板书
28 .28 作业 教材第 48 页： 3 、 4 (2) 、 5 、 6 提示： 第 3 题： ① 等距 节点 插值，假定节点上的函数值是已知的； ② 将 度数转化为弧度，要 考虑插值误差和所给数据的舍入误差 第 6 题：等距 节点 插值 ，假定节点上的函数值是已知 的，且没有误差
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