呼之欲出。 恩格尔系数变化表

数学教育中“立德树人”的内涵;; 从与学生发展核心素养关系的角度;; 从数学学科 ... 代数. 几何. 统计概率. 数学课程目标的发展. 是“三维目标”的进一步融合;; 是义教的 ...
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1.核心素养导向的 数学教学变革 人民教育出版社 章建跃 zhangjy@pep.com.cn

2. 一、如何理解数学学科核心素养 • “ 教育的根本任务在于立德树人”,这就是 整个教育改革的核心任务。 • 如何落实“立德树人”的根本任务?抓手在 哪里? • 教育部的顶层设计是“以学生发展核心素 养为统领”,各学科教学都要为学生核心 素养的发展作出独特的贡献,从而实现 “立德树人”根本任务。

3.• 数学教育中的“立德树人”,以数学学科核心素 养为统领。 • 数学学科核心素养是通过数学学习而逐步形成 的具有数学特征的关键能力、必备品格与价值 观念。 • 表现: 会用数学眼光观察世界;会用数学思维思 考世界;会用数学语言表达世界。 • 高中课标提炼了六个数学学科核心素养要素: 数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、 直观想象、数据分析。

4.理解数学学科核心素养的几个角度 • 数学教育中“立德树人”的内涵; • 从与学生发展核心素养关系的角度; • 从数学学科特点出发; • 数学课程目标的发展角度。 —— 数学学科核心素养“是什么”?深化数学 教育改革中提出核心素养导向有什么历史 的必然性?能否“举例子”?

5.数学教育“立德树人”的基本内涵 • 帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需 的数学知识、技能、思想和方法; • 提升学生的数学素养,引导学生会用数学眼 光观察世界,会用数学思维思考世界,会用 数学语言表达世界; • 促进学生思维能力、实践能力和创新意识的 发展; • 在学生形成正确人生观、价值观、世界观等 方面发挥独特作用。

6.数学学科核心素养与学生发展核心素养 • 中国学生发展核心素养:文化基础(人文 底蕴、科学精神)、自主发展(学会学习 、健康生活)、社会参与(责任担当、实 践创新) • 数学教育对发展学生核心素养的独特贡献 ,主要体现在科学精神(理性思维、批判 质疑、勇于探究)、学会学习(乐学善学 、勤于反思、信息意识)和实践创新(劳 动意识、问题解决、技术应用)上。

7.数学学科核心素养与数学的特 点 数学特 核心素 核心素 具体内 点 养 养 容 数学抽 数学运 抽象性 代数 象 算 逻辑推 直观想 严谨性 几何 理 象 数学建 数据分 统计概 应用性 模 析 率

8. 数学课程目标的发展 • 是“三维目标”的进一步融合; • 是义教的八个“核心概念”( 数感、符号意 识、空间观念、几何直观、数据分析观念 、运算能力、推理能力、模型思想)的进 一步整合; • 以“四基”“四能”为载体; • 双基、三大能力是数学育人目标的内核— —与时俱进丰富内涵,万变不离其宗!

9.• 新一轮数学课改的核心任务是提升学生的 数学学科核心素养,为学生发展核心素养 作出独特贡献。 • 要有具体措施,要把数学学科核心素养落 实在数学教育的各个环节。

10. 二、新教材的体系 • 普通高中教科书 · 数学( A 版)结构体系

11.三、关于落实核心素养的思考 1 .理性思维是数学素养的灵魂 • 发展学生的理性思维(特别是逻辑思维) ,使学生学会有逻辑地、创造性地思考, 学会使用数学语言表达与交流,成为善于 认识和解决问题的人才,是数学课程的主 要任务。

12. 例 1 如何研究“相交线” • 研究对象是什么? • 两条直线相交所形成的几何图形 • 研究内容是什么? • 两条直线相交形成四个角,这些角之间的 相互关系 • 如何发现这些角的相互关系?

13. 探究过程 • 四个角的关系 • ∠1+∠ 2+∠ 3+∠ 4=360° • 三个角的关系 • 变化中不存在不变性——没有固定的关系 • 两个角的关系 ( 1 )两两配对有 6 对角,即∠ 1 和∠ 2 , ∠ 1 和∠ 3 ,∠ 1 和∠ 4 ,∠ 2 和∠ 3 ,∠ 2 和∠ 4 ,∠ 3 和∠ 4 。

14.( 2 )∠ 1 和∠ 2 的关系如何研究? • 从角的定义出发:两个角的顶点的关系、边 的关系,得到∠ 1 与∠ 2 的位置特点。 • 顶点重合;一边重合,称这两个角“相邻”;另 一边互为反向延长线,所以两个角“互补”。 • 用几何语言准确表达即为邻补角的定义:∠ 1 与∠ 2 有一条公共边 OA ,它们的另一边互为 反向延长线,即∠ 1 与∠ 2 互补,具有这种关 系的两个角,互为邻补角.

15.( 3 )其余 5 对角的关系的研究 • 让学生类比∠ 1 与∠ 2 的位置关系的研究 过程,对其余 5 对角的边的位置关系进行 自主探究,并作出分类,得出对顶角的定 义,再得出:两条直线相交所形成的 4 个 角中,两两之间的位置关系,根据两个角 的边之间特殊的位置关系,分成两类,一 类是邻补角,一类是对顶角。

16. 接下去研究什么? • 已经研究了两条直线相交形成的 6 对角的 位置关系,发现可以分为两类。那么,邻 补角、对顶角分别有怎样的数量关系呢? 这就是接下来要研究的问题。 • 定性到定量——研究几何问题的基本之道 。

17.如何让学生感受证明“对顶角相等”的必 要性 • 从一个给定的图形中得到“对顶角相等”,但任意 两个对顶角都相等吗? • 观察剪刀剪纸的过程,这个过程中什么在变化 ?对顶角的相等关系总能保持吗?为什么? • 在一个平面内的两条相交线,不仅 AB , CD 的 位置关系可以改变,交点 O 的位置也可以改变。 在这些变化过程中,对顶角仍然相等吗?你如 何使人相信:如果两个角具有对顶角的位置关 系,那么它们就一定相等?你能把道理完整地 写出来吗?

18. 思考题 • 你认为教材为什么把平行线的研究内容安 排在“三线八角”之后? • 在“三线八角”的基础上,如何引导学生发 现平行线的判断与性质?

19.进一步地:如何研究位置关系的性质? • 两条直线平行,从“同位角相等”、“内错角 相等”以及“同旁内角互补”可以想到,这时 的“性质”是与“第三条直线”构成某种关系 ——平行、相交,相交时又形成一些角, 然后看由两条直线平行这一位置关系(条 件)所决定的这些角之间有什么确定的关 系。

20.• 从方法论的高度看,研究两个几何元素的某 种位置关系的性质,就是探索在这种位置关 系下的两个几何元素与其他(同类)几何元 素所形成的图形中出现的确定关系(不变性 和不变量)。 • 具体方法是让“其他几何元素”动起来,看“变 化中的不变性、不变量”——这是教学设计 的源头。

21. 例 2 直线与平面平行的性质 • 位置关系(大前提):直线 l ∥ 平面 α ; • 探究性质的思路:直线 l 、平面 α 与其他直 线、平面所形成的确定关系,可以得到命题 : ( 1 )如果 a∥l (小前提) ,那么 a ∥α ; ( 2 )如果 a ∥α ,那么 a ∥l ; ( 3 )如果 a ⊥l ,那么 a⊥α ; ( 4 )如果 a⊥α ,那么 a⊥ l ;

22.( 5 )如果 β∥l ,那么 β∥α ; ( 6 )如果 β∥α ,那么 β∥l ; ( 7 )如果 β⊥l ,那么 β⊥α ; ( 8 )如果 β ⊥ α ,那么 β ⊥l 。

23.( 9 )与“公理”相联系,直线 l 与平面 α 内 任意一点 A 确定一个平面 β , α ∩ β=m ,那么 m∥l ; ( 10 ) l∥α ,所以 l∩α =Φ 。如果 m 在 α 内,则或者 m∥l ,或者 m 与 l 是异面直 线。 ( 11 )直线 m 与直线 l 异面,则过直线 m 有且只有一个平面与直线 l 平行。 ( 12 ) l∥α , β∩γ=l , α∩ β=l1 , α∩γ=l 2 , 那么 l1∥l2 。

24. 例 3 两个平面垂直的性质与判定 • 研究对象是什么? • 研究内容是什么? • 如何引导学生发现性质? • 一般地,什么叫“几何图形的性质”?几何 性质分为哪些类型? • 教材的变化

25.2 .数学育人要发挥数学的内在力量,数 学育人要用数学的方式 • 数学是思维的科学,具有“追求最大限度的 一般性模式特别是一般性算法的倾向”; • 有一种研究的“基本套路”; • 有一套具有普适性的思考结构和交流的符 号形式,这种结构和符号形式是强大的, 富有逻辑,简明而且精确,是人们可以借 助于理解和处理周围环境的一种思维方式 。

26. 教材如何体现“数学的方式” • 以发展学生数学素养为追求,根据学生的 认知规律,螺旋上升地安排教学内容,特 别是要让重要的(往往也是难以一次完成 的)数学概念、思想方法得到反复理解的 机会。——心理性 • 以“事实——概念——性质(关系)——结 构(联系)——应用”为明线; • 以“事实——方法——方法论——数学学科 本质观”为暗线。

27.从数学思维、思想或核心素养角度看 • “ 事实——概念”主要是“抽象”(在周而复始的运 动过程中,涉及哪些量,它们之间的关系如何, 可以用怎样的数学方式表示); • “ 概念——性质”主要是“推理”,包括通过归纳推 理发现性质,通过(逻辑)演绎推理证明性质; • “ 性质——结构”主要也是“推理”,是建立相关知 识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强 大的数学认知结构的过程; • “ 概念、性质、结构——应用”主要是“建模”,是 用数学知识解决数学内外的问题。

28.• 在整个教学内容的展开过程中,都要发挥“一 般观念”的作用,加强“如何思考”、“如何发 现”的启发和引导,特别是在概念的抽象要做 什么、“几何性质”“代数性质”“函数性质”指什 么等问题上要及时引导,以使学生明确思考 方向。 • “ 不在知其然,而在知其所以然;不在知其所 以然,而在何由以知其所以然”; • “ 启发学者,示以思维之道耳”。 • 当前的教学,主要问题是数学没有讲好,老 师不知道如何“示以思维之道”。我们应当加 强这方面的研究。

29.例 4 有理数的知识结构图