1 . 2021年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题卷
第I卷 选择题部分（共40分）
一、选择题
1. 设集合A = {xjx > 1}; B = {xj¡1 < x < ¡2}，则A \ B =
A. {xjx > ¡1} B. {xjx > 1} C. {xj¡1 < x < 1} D. {xj1 6 x < 2}
2. 已知a 2 R，(1 + ai) i = 3 + i，（i为虚数单位），则a =
A. -1 B. 1 C. -3 D. 3
3. 已知非零向量~a ; ~b ; ~c，则~a ~c = ~b ~c是~a = ~b的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
p
3 3 2 p
A. B. 3 C. D. 3 2
2 2
x+1>0 {{{
{{{
1
5. 若实数x; y 满足约束条件 x ¡ y 6 0 ，则z = x ¡ y 的最小值是
2
2x + 3 y ¡ 1 6 0
3 1 1
A. -2 B. ¡ C. ¡ D.
2 2 10
6. 如图已知正方体ABCD ¡ A1B1C1D1，M ; N 分别是A1D; D1B 的中点，则
1
2 . A. 直线A1D与直线D1B 垂直，直线MN//平面ABCD
B. 直线A1D 与直线D1B 平行，直线MN ? 平面BDD1B1
C. 直线A1D与直线D1B 相交，直线MN//平面ABCD
D. 直线A1D与直线D1B 异面，直线MN ? 平面BDD1B1
1
7. 已知函数 f (x) = x2 + ; g(x) = sin x，则图像为如图的函数可能是
4
1 1
A. y = f (x) + g (x) ¡ B. y = f (x) ¡ g (x) ¡
4 4
g ( x)
C. y = f (x) g (x) D. y =
f ( x)
1
8. 已知 ; ; 是互不相同的锐角，则在sin cos ; sin cos ; sin cos 三个值中，大于 的个数
2
的最大值是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9. 已知a; b 2 R; ab > 0，函数 f (x) = ax2 + b(x 2 R).若 f (s ¡ t); f (s); f (s + t)成等比数列，则平面上
点(s; t)的轨迹是
A. 直线和圆 B. 直线和椭圆 C. 直线和双曲线 D. 直线和抛物线
an
10. 已知数列{an}满足a1 = 1; an+1 = p (n 2 N ).记数列{an}的前n项和为Sn，则
1 + an
1 3 9 9
A. < S100 < B. 3 < S100 < 4 C. 4 < S100 < D. < S100 < 5
2 2 2 2
第II卷 非选择题部分（共110分）
二、填空题
11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一
个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别是3， 4， 记大正
S1
方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则 = .
S2
2
3 . {{ xjx ¡¡ 3j4; + a;
2
x>2 p
12. 已知a 2 R，函数 f (x) = ，若 f [ f ( 6 )] = 3，则a = .
x62
13. 已知多项式(x ¡ 1)3 + (x + 1)4 = x4 + a1 x3 + a2x2 + a3 x + a4，则a1 = ，a2 + a3 + a4 =
.
p
14. 在4ABC中，\B = 60，AB = 2，M 是BC的中点，AM = 2 3 ，则AC = ，cos\MAC =
.
15. 袋中有4个红球m个黄球，n个绿球. 现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，若取出的两个球
1 1
都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则m ¡ n = ，E ( ) = .
6 3
16. 已知椭圆
x2 y 2
a2
1 2
+ 2 = 1(a > b > 0)，焦点F1(¡c; 0)，F2(c; 0)(c > 0)，若过F1的直线和圆 x ¡ c +
b 2 ( )
y 2 = c2相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且PF2 ? x轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离
心率是 .
17. 已知平面向量~a ; ~b ; ~c ; (~c =
/ 0)满足ja ~ j = 2; (~a ¡ ~b) ~c = 0. 记向量d~在~a ; ~b方向上的投影分别
~ j = 1; jb
为x， y ，d ¡ ~a在~c方向上的投影为z ，则x2 + y2 + z 2的最小值为
~ .
三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
18. 设函数 f (x) = sin x + cos x (x 2 R).
[(
a) 求函数 y = f x +
2 )] 的最小正周期；
2
(
b) 求函数 y = f (x) f x ¡
2 ) [ ]
在 0; 上的最大值.
2
19. 如图， 在四棱锥
p P ¡ ABCD中， 底面ABCD是平行四边形， \ABC = 120， AB = 1， BC =
4，PA = 15 ，M ; N 分别为BC; PC的中点，PD?DC，PM?MD.
a) 证明：AB?PM；
b) 求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.
9
20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1 = ¡ ，且4Sn+1 = 3Sn ¡ 9.
4
a) 求数列{an}的通项；
b) 设数列{bn}满足3 bn + (n ¡ 4) an = 0， 记{bn}的前n项和为Tn， 若Tn 6 bn对任意n 2
N 恒成立，求的范围.
21. 如图，已知F是抛物线 y 2 = 2 p x ( p > 0)的焦点，M 是抛物线的准线与x轴的交点，且jMFj = 2，
3
4 . a) 求抛物线的方程；
b) 设过点F的直线交抛物线与A、 B两点，斜率为2的直线l与直线MA， MB， AB， x轴依
次交于点P，Q，R，N，且jRNj2 = jPNj jQNj，求直线l在x轴上截距的范围.
22. 设a，b为实数，且a > 1，函数 f (x) = ax ¡ bx + e2(x 2 R)
a) 求函数 f (x)的单调区间；
b) 若对任意b > 2e2，函数 f (x)有两个不同的零点，求a的取值范围；
b ln b
c) 当a = e时，证明：对任意b > e4，函数 f (x)有两个不同的零点x1，x2，满足x2 > x1 +
2e2
e2
.
b
（注：e = 2.71828: : : 是自然对数的底数）
注记. 本试卷使用墨干编辑器制作。
4
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