2019年全国高中数学联合竞赛一试试题A卷

1 . 2019年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷） by TEXMACS中文社区 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。 1. 已知正实数a满足aa = (9 a)8a，则log a(3 a)的值为 . 2. 若实数集合{1; 2; 3; x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和， 则x的值 为 . 3. 平面直角坐标系中，~是单位向量， e 向量a ~ 满足a ~ | 6 5|a ~
~e = 2， 且|a ~ + te ~|对任意实数t成立， 则|a ~ |的取值范围为 . p 4. 设A; B为椭圆Γ的两个焦点，|AB| = 4，|AF| = 2 + 3 ，P 为Γ上一点，满足|PE|
|PF| = 2， 则
PEF的面积为 . 5. 在1; 2; 3; : : : ; 10中随机选出一个数a，在−1; −2; −3; : : : ; −10中随机选出一个数b，则a2 + b被 3整除的概率为 . 6. 对任意闭区间I ， 用MI 表示函数 y = sin x在I 上的最大值. 若正数 a满足M{0;a} = 2M{a;2a}， 则a的值为 . 7. 如图， 正方体ABCD − EFGH的一个截面经过顶点A, C及棱EF上一点K， 且将正方形分成 EK 体积比为3:1的两部分，则 的值为 . KF 8. 将6个数2; 0; 1; 9; 20; 19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同 的8位数的个数为 . 二、 解答题： 本大题共3小题， 满分56分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演 算步骤。 1. （本题满分 16 分）在
ABC中， BC = a， CA = b ， AB = c. 若 b 是 a与 c的等比中项， 且sin A是sin(B − A)与sin C的等差中项，求cos B的值. 2. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中， 圆 与抛物线Γ: y 2 = 4x恰有一个公共点， 且 圆 与x轴相切于Γ的焦点F ，求圆 的半径. 3. （本题满分20 分）称一个复数数列{zn}为“有趣的”， 若|z1| = 1， 且对任意正整数 n， 均 2 有4zn+1 + 2znzn+1 + zn2 = 0，求最大的常数C，使得对一切有趣的数列{zn}及任意正整数m， 均有|z1 + z2 +


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