2019年全国高中数学联合竞赛一试试题A卷

GNU TeXmacs中文社区制作的《2019年全国高中数学联合竞赛一试试题A卷》

制作的过程可以参考: https://zhuanlan.zhihu.com/p/104295973

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1. 2019年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷) by TEXMACS中文社区 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分。 1. 已知正实数a满足aa = (9 a)8a,则log a(3 a)的值为 . 2. 若实数集合{1; 2; 3; x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和, 则x的值 为 . 3. 平面直角坐标系中,~是单位向量, e 向量a ~ 满足a ~ | 6 5|a ~  ~e = 2, 且|a ~ + te ~|对任意实数t成立, 则|a ~ |的取值范围为 . p 4. 设A; B为椭圆Γ的两个焦点,|AB| = 4,|AF| = 2 + 3 ,P 为Γ上一点,满足|PE|  |PF| = 2, 则PEF的面积为 . 5. 在1; 2; 3; : : : ; 10中随机选出一个数a,在−1; −2; −3; : : : ; −10中随机选出一个数b,则a2 + b被 3整除的概率为 . 6. 对任意闭区间I , 用MI 表示函数 y = sin x在I 上的最大值. 若正数 a满足M{0;a} = 2M{a;2a}, 则a的值为 . 7. 如图, 正方体ABCD − EFGH的一个截面经过顶点A, C及棱EF上一点K, 且将正方形分成 EK 体积比为3:1的两部分,则 的值为 . KF 8. 将6个数2; 0; 1; 9; 20; 19按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0),则产生的不同 的8位数的个数为 . 二、 解答题: 本大题共3小题, 满分56分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演 算步骤。 1. (本题满分 16 分)在 ABC中, BC = a, CA = b , AB = c. 若 b 是 a与 c的等比中项, 且sin A是sin(B − A)与sin C的等差中项,求cos B的值. 2. (本题满分20分)在平面直角坐标系xOy中, 圆 与抛物线Γ: y 2 = 4x恰有一个公共点, 且 圆 与x轴相切于Γ的焦点F ,求圆 的半径. 3. (本题满分20 分)称一个复数数列{zn}为“有趣的”, 若|z1| = 1, 且对任意正整数 n, 均 2 有4zn+1 + 2znzn+1 + zn2 = 0,求最大的常数C,使得对一切有趣的数列{zn}及任意正整数m, 均有|z1 + z2 +    + zm| > C. . 本试卷由TEXMACS 中文社区使用GNU TEXMACS 1.99.12排版制作 1