概率论与数理统计第三章---条件概率与事件的独立性

本章主要讲述条件概率与事件的独立性。其中包括条件概率:定义,样本空间,概率 P(A|B)与P(AB)的区别与联系,性质,计算方法,如乘法定律;全概率公式:定义,划分的定义,;贝叶斯公式;事件的独立性:串联系统的可靠性与并联系统的可靠性;伯努力试验和二项概率;主观概率。
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1.

2.第三章 条件概率与 事件的独立性 • 条件概率 • 全概率公式 • 贝叶斯公式 • 事件的独立性 • 伯努力试验和二项概率 • 主观概率

3. 第一节条件概率 Conditional Probability  抛掷一颗骰子 , 观察出现的点数 A={ 出现的点数是奇数 } ={1,3, 5} B={ 出现的点数不超过 3}} ={1,2, 3} 若已知出现的点数不超过 3} ,求出现的点数是 奇数的概率 即事件 B 已发生,求事件 AB A 的概率 P(A|B)P(A|B) A (  AB ) B ( A ) (B )  P(A|B) P(A|B) A B 都发生,但样本空间 缩小到只包含B的样本点B的样本点   AB 2 ( n) P( A | B)   B 3

4. 条件概率 Conditional Probabilit y  定义 设A,B为同一个随机试验中的两个随机事A,B为同一个随机试验中的两个随机事 件 , 且P(B)>0, 则称P(B)>0, 则称 P ( AB ) P( A B)  P( B) 为在事件 B发生的条件 下,事件 A发生的条件 概率.

5.条件概率 P(A|B) 的样本空间  B A B A Sample space Reduced sample space given event B P ( AB ) P( A | B)

6. 概率 P(A|B) 与 P(AB) 的区别与联 系 联系:事件 A , B 都发生了 区别: ( 1 )在 P(A|B) 中,事件 A , B 发生有时间上的差异, B 先 A 后;在 P ( AB )中,事件 A , B 同时发生。 ( 2 )样本空间不同,在 P(A|B) 中,事件 B 成为样本 空间;在 P ( AB )中,样本空间仍为  。 因而有 P ( A B ) P ( AB )

7.例 设袋中有 3 个白球, 2 个红球,现从袋中任意抽取两次 ,每次取一个,取后不放回, ( 1 )已知第一次取到红球,求第二次也取到红球的概率 ; ( 2 )求第一次取到红球的概率 ( 3 )求两次均取到红球的概率 设 A—— 第一次取到红球 ,B——B—— 第二次取到红 球 (1) P ( B | A)  1 2 4 (2) P ( A)  5 2 1 1 (3) P ( AB)   5 4 10

8.例 设有两个口袋,第一个口袋装有 3 个黑球, 2 个 白球;第二个口袋装有 2 个黑球和 4 个白球 . 今 从第一个口袋任取一球放到第二个口袋,再从第 二个口袋任取一球,求已知从第一个口袋取出的 是白球的条件下从第二个口袋取出白球的概率 . 解 : 记 A={ 从第一个口袋取出白球 } B={ 从第二个口袋取出白球 } P(B|A)=5/7 P(A)=2/5, P(AB)=(2×5)/(5×7)=2/7 P(B|A)= P(AB)/ P(A)= 5/7

9.例 设A,B为同一个随机试验中的两个随机事 100 件 产品中有 70 件 一等品, 25 件 二等 品,规定一、二等品为合格品.从中任取 1 件 ,求 (1) 取得一等品的概率; (2) 已知取得的是合格品,求 它是一等品的概率. 解 设A,B为同一个随机试验中的两个随机事A表示取得一等品,B表示取得合格品,则 ( 1 )因为 100 件 产品中有 70 件 一等品,所以 70 P ( A)  0.7 100 ( 2 )方法 1 因为 95 件 合格品中有 70 件 一等品,所以 : 70 P ( A B )  0.7368 95 P( AB ) 70 100 方法 2 : P ( A B )   0.7368 P( B) 95 100

10. 条件概率的另一种定义 设 A, B 是两个事件 , 且 P(A)>0, 则称 P(AB) P(B | A) = P(A) 为事件 A 发生的条件下事件 B 的条件概率 。设 A, B 是两个事件 , 且 P(B)>0, 则称 P(AB) P(A | B) = P(B) 为事件 B 发生的条件下事件 A 的条件概率 。

11.条件概率的性质 1. 非负性 0 ≤P(B|A) ≤1P(B|A) ≤P(B|A) ≤11 2. 规范性 P(Ω|A)=1 3. 完全可加性 对任意一两两互斥事件 B1,B2 ,…, 有   P (Bi | A)  P ( Bi | A) i 1 i 1 4. P(Ā|B)=1-P(A|B) 5. P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A )

12.条件概率 P(B|A) 的两中计算方法 1. 直接在缩减了的样本空间中计算 B 发生的 概率得到 P(B|A); 2. 在样本空间 Ω中 , 先计算 P(AB), 再得到 P(AB) P(B | A) = P(A) B A Ω

13.例 . 一盒中混有 100 只新 , 旧乒乓球,各有红、白 两色,分 类如下表。从盒中随机取出一球,若取得 的是一只红球,试求该红球是新球的概率。 设 A-- 从盒中随机取到一只红 球. B-- 从盒中随机取到一只新球 红 白 P ( A) 60 / 100 3 / 5 新 40 30 . 旧 20 10 P( AB ) 40 / 100 2 / 5 P ( AB ) 2 P ( B | A)   P ( A) 3

14. 乘法定律 P( AB) P ( AB ) P ( A) P ( B A) P( B A)  P( A) P ( B ) P ( A B ) P( AB) P( A B)  P( B)  推广 P( ABC ) P ( A) P( B A) P(C | AB) P ( A1 A2  An ) P( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 ( A1 A2 ))  P ( An ( A1 A2  An  1 ))

15. P(A|B) P(A|B)一批产品中有 4% 的次品,而合格品中一等品占 45% . 从这批产品中任取一件 ,求该产品是一等品的概 率. 解 设A,B为同一个随机试验中的两个随机事A表示取到的产品是一等品,B表示取 出的产品是合格品, 则 P ( A | B ) 45% P ( B ) 4% 于是 P ( B ) 1  P ( B ) 96% 所以 P( A) P( AB) P ( B ) P ( A | B ) 96% 45% 43.2%

16. P(A|B) P(A|B) 一个盒子中有6只白球、4只黑球,从中不放回地 每次任取1只,连取2次,求 (1) 第一次取得白球的 概率; (2) 第一、第二次都取得白球的概率; (3) 第一 次取得黑球而第二次取得白球的概率. 解 设A,B为同一个随机试验中的两个随机事A表示第一次取得白球 , B表示第二次取得白球 , 则 6 ( 1 ) P ( A)  0.6 10 6 5 ( 2 )P ( AB ) P ( A) P ( B A)   0.33 10 9 4 6 ( 3 )P ( AB ) P ( A) P ( B A)   0.27 10 9

17. 例 考虑恰有两个小孩的家庭 . 若已知某一家有男孩 ,求这家有两个男孩的概率;若已知某家第一个是男孩 ,求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率 . (假定生男生女为等可能) 解 Ω={ ( 男 , 男 ) , ( 男 , 女 ) , ( 女 , 男 ) , ( 女 , 女)} 则 B ={( 男 , 男 ) , ( 男 , 女 ) , 设A,B为同一个随机试验中的两个随机事 B = “ 有男孩” , (女 , 男)} A = “ 有两个男孩” , A ={( 男 , 男 ) } , B1 =“ 第一个是男孩” B1 ={( 男 , 男 ) , ( 男 , 女)} 于是得 3 1 P B   P BA  P A  4 4 1 1 P  B1   P  B1 A  P  A  2 4

18. 全年级 100 名学生中,有男生(以 事件 A 表 示) 80 人,女生 20 人; 来自北京的(以 事件 B 表示)有 20 人,其中男生 12 人,女生 8 人 ;免修英语的(以 事件 C 表示) 40 人中,有 3 2 名男生, 8 名女生。求 P( A), P( B), P( A B), P( B A), P ( AB ), 80 20 12 12 12 100 100 20 80 100 P (C ), P (C A), P ( A B ), P ( AC ) 40 32 12 32 100 80 80 100

19. 某种动物出生之后活到 20 岁的概率为 0.7 , 活到 25 岁的概率为 0.56 ,求现年为 20 岁的 这种动物活到 25 岁的概率。 解 设A,B为同一个随机试验中的两个随机事 A 表示“活到 20 岁”, B 表示“活到 25 岁” 则 P ( A) 0.7, P ( B ) 0.56 P ( AB ) P ( B ) 所求概率为 P ( B A)   0.8 P ( A) P ( A)

20. 甲,乙,丙 3 人参加面试抽签,每人的试题 通过不放回抽签的方式确定。假设A,B为同一个随机试验中的两个随机事被抽的 10 个试题签中 有 4 个是难题签,按甲先,乙次,丙最后的次序抽签。 试求 1 )甲抽到难题签, 2 )甲和乙都抽到难题签, 3 )甲没抽到难题签而乙抽到难题签, 4 )甲,乙,丙 都抽到难题签的概率。 解 设A,B为同一个随机试验中的两个随机事 A , B , C 分别表示“甲、乙、丙抽到难签” 4 4 3 则 P(1) P ( A)  P(2) P( AB)   10 10 9 6 4 4 3 2 P(3) P ( AB)   P (4) P( ABC )    10 9 10 9 8

21.例 1 有甲乙两个袋子,甲袋中有两个白球, 1 个红球 ,乙袋中有两个红球,一个白球.今从甲袋中任取一球 放入乙袋,再从乙袋中任取一球,问此球是红球的概率 ? 解:设 A1—— 从甲袋放入乙袋的是白球; A2—— 从甲袋放入乙袋的是红球; B—— 从乙袋中任取一球是红球; B=A1B∪A2B , P(B)=P(A1B)+ P(A2B) 2 2 3 1 1 P ( B ) P ( B | A1 ) P ( A1 )  P ( B | A2 ) P ( A2 )      4 3 4 3 12  甲 乙 甲 乙

22. 第二节 全概率公式 全概率公式 定义 事件组 A1 , A2 ,…, An (n 可为 ) 两两 互斥 , 且 P(Ai)>0,(1≤P(B|A) ≤1i ≤P(B|A) ≤1n). 又事件 B 满足: n B BA i i 1 则有 n P ( B )  P ( Ai )P ( B | Ai ) i 1 注 : 这里只要求 B 发生当且仅当 B 与 A1 , A2 ,…, An 之一同时发生 . 并不要求 A1 , A2 n,…, An 为样本空 间 Ω 的一个划分,只要求 B  Ai i 1

23.划分的定义 定义 事件组 A1 , A2 ,…, An (n 可为 ) ,若满 足: n (i ) Ai ; i 1 (ii ) Ai A j , (i  j ), i, j 1,2,..., n. 称 A1 , A2 ,…, An 为样本空间 Ω 的一个划分。 … A2 A1 … … An … …

24.例如:设实验 E 为“掷一颗骰子观察其点数” . 它 的样本空间为: Ω={1,2,3,4,5,6} E 的一组事件: A1={1,3,5}, A2={2,4}, A3={6} 是 Ω的一个划分。 B1={1,2,3}, B2={3,4},B3={5,6} 不是 Ω的一个划分。

25.例 1. 市场上供应的灯泡中 , 甲厂的产品占有 70% , 乙厂占有 30%, 甲厂产品合格率是 95%, 乙厂产 品合格率是 80% 。求从市场上买到一个灯泡是合 格品的概率。 解:用 A 表示甲厂的产品 , 用 B 表示合格品 , B  AB  A B P(B) P(AB)  P(AB) P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) 0.70 0.95  0.30 0.80 0.905.

26.例 2: 有三个形状相同的箱子 , 在第一个箱中有两个正品 , 一个次品 ; 在第二个箱中有三个正品 , 一个次品 ; 在第 三个箱中有两个正品 , 两个次品 . 现从任何一个箱子 中任取一件产品 , 求取得的是正品的概率 . 解 : 设 Bi={ 从第 i 个箱子中取到产品 }(i=1,2,3), A={ 取得正品 }. 由题意知 Ω=B1+B2+B3 且 B1,B2,B3 是两两互不相容的事件 . P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3 P(A|B1)=2/3,P(A|B2)=3/4,P(A|B3)=2/4=1/2 由全概率公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =0.64

27. 例 3: 有十个袋子,各袋中装球的情况如下:( 1 )两个袋 子中各装有 2 个白球与 4 个黑球;( 2 )三个袋子中各装有 3 个白球与 3 个黑球;( 3 )五个袋子中各装有 4 个白球与 2 个黑球 . 任选一个袋子,并从其中任取 2 个球,求取出 的 2 个球都是白球的概率 . 解 设 事件 B 表示取出的 2 个球都是白球, 事件 Ai 表示所选袋子中装球的情况属于第 i 种 ( i=1 、 2 、 3 ) 2 3 5 易知 P(A 1 )  P(A 2 )  P(A 3 )  10 10 10 2 C2 1 C 2 3 2 P(B | A 1 )  2  P(B | A 2 )  3  P(B | A )  4  6 C C6 15 C62 15 3 C62 15 于是按全概率公式所求的概率 3 P(B)  P(A i )P(B | A i ) i 1 2 1 3 3 5 6       0.273 10 15 10 15 10 15

28.例 4. 有三个箱子,分别编号为 1 、 2 、 3 , 1 号箱装有 1 个红球、 4 个白球, 2 号箱装有 2 个红球、 3 个白球, 3 号箱装有 3 个红球 . 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球 . 求取得红球的概率 . 解: Ai—— 球取自 i 号箱, i=1 、 2 、 3 B —— 取得红球 P B  P A1 B   P A2 B   P A3 B  P A1  P B / A1   P A2  P B / A2   P A3  P B / A3  若问题为:发现是红球,求取自 1 号箱的概率 P( A1 B ) P A1  P B / A1  P A1 / B    P( B) P A1  P B / A1   P A2  P B / A2   P A3  P B / A3 

29. 第三节 贝叶斯公式  问题? 在全概率公式中我们知道 , 引起事件 B 发生的原因有 A1,A2,…,An 等多种 . 在实际 问题中 , 常遇到已知事件 B 已经发生 , 如 何求出事件 B 发生是由某种原因 Ak 引起的 概率 P(Ak|B).