概率论与数理统计第一章--随机事件

本章主要讲述概率论与数理统计的随机事件。其中包括必然现象,随机现象;样本空间和随机事件,包括随机试验,基本事件与样本空间;事件关系和运算,包括子事件,相等事件,和事件,积事件,互斥事件,对立事件 ,差事件 ,完备事件组,以及事件之间的运算律。
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1.教师 : 边海琴 e-mail: bianhaiqin @ nwnu.edu.cn

2. 教材及参考书目  教材: 《概率统计简明教程》 同济大学应用数学系编 高等教育出版社  参考书: 1. 《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤 等 编 高等教育出版社 2001 2. 《数理统计》 赵选民 等 编 科学出版社 2003

3.第一章 随机事件 随机事件  样本空间和随机事件  事件关系和运算

4. 什么是概率论 必然现象 Certainty phenomena  在 101325 P a 的大气压下,将纯净水加热到 100℃ 时必然沸腾  垂直上抛一重物,该重物会垂直下落 必然现象 :在一定的条件下必然会发生的现象 。

5.随机现象 Random phenomena 掷一颗骰子,可能出现 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 点 抛掷一枚均匀的硬币,会出现正面向上、反面向上 两种不同的结果 随机现象 :在一定的条件下可能发生也可能不发生的 现象 。

6.随机现象 的特点: 在一定条件下对某一现象 观察时,观察 到的结果是多个可能结果中的某一个,且在 每次观察前都无法预知观察结果到底是哪一 个,既结果出现呈现偶然性,或者说:出现 哪个结果凭机会而定。

7. 明天的最高气温;  投一个骰子,观察其向上的点数;  新生婴儿的体重;  在闹市区的某个街口,在给定的时间段内 观察交通堵塞现象 。

8.随机现象 是不是没有规律可言? 否;在一定条件下对随机现象 进行大量重 复观察后就会发现:随机现象 的发生有一定的 规律性。 例如:测量一物体的长度,由于仪器及观察受 到环境的影响,每次测量的结果可能有差异, 但多次测量结果的平均值随着测量次数的增加 而逐渐稳定于一固定的常数,并且诸测量值大 多落在此常数附近,离常数越远的测量值出现 的可能性越小。

9.“ 天有不测风云”和“天气可以预报”有矛盾吗”和“天气可以预报”有矛盾吗”有矛盾吗 ? 没有; “天有不测风云”指的是对随机现 象进行一次观测,其观测结果具有偶然性; “天气可以预报”指的是研究者从大量的气象资 料来观察这些观测结果的规律性。

10. 总结:随机现象 具有偶然性一面,也有必然性 一面。偶然性一面表现在“对随机现象 做一次观 测时,观测结果具有偶然性”;必然性一面表现 在“对随机现象 进行大量重复观测,观测结果有 一定的规律性” 。亦即“统计规律。”“统计规律。” 概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科

11. 第一节 样本空间和随机事件 样本空间和随机事件 一、随机试验 random E)xperiments 随机试验 (E)E)) :把对某种随机现象 的一次观察、观测 或测量等称为一个试验。  E)1 :抛一枚硬币,观察正面,反面出现的情况;  E)2 :将一枚硬币连抛掷三次,观察正面 H ,反面 T 出现的情况;  E)3 :抛一颗骰子,观察出现的点数;  E)4 :记录某电话在一天内 接到呼唤的次数;  E)5 :记录一昼夜的最高温度和最低温度;

12.随机试验特点  试验在相同的条件下可重复进行,  每次试验的结果具有多种可能性,而且在试验之前可 以确定试验的所有可能结果,  每次试验前不能准确预言试验后会出现哪一种结果.

13.二、随机事件 random E)vents 在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大量重 复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件 (E)rando m E)vents ) ,简称事件( E)vents) .  随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示.A、B、C等表示.等表示. 例如:在抛掷一枚均匀硬币的试验中,“正面向上”是 一 个随机事件,可用A={正面向上}表示. 掷骰子,“出现偶数点”是一个随机事件, 试验结果为 2 , 4 或 6 点,都导致“出现偶数点”发生。 可用 B ={出现偶数点}表示.

14. 三、基本事件与样本空间 样本点 Sample Point 随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为 i 这个试验的一个 样本点 ,记作 .  样本空间 Sample Space 全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间   1 , 2 , , n , ,记作 Ω . 即“统计规律。”  基本事件 仅含一个样本点的随机事件称为基本事件. 含有多个样本点的随机事件称为复合事件.

15. 写出下列试验的样本空间 E)1: 掷一颗匀质骰子,观察骰子出现的点数 Ω={1 , 2 , 3 , 4 , 5 点数:一维离散型随机变量 , 6} E)2: 射手向一目标射击,直到击中目标为止 Ω={1,2,…} 射击次数:一维离散型随机变量 E)3: 从四张扑克牌 J,Q,K,A 任意抽取两张。 Ω={(E)J,Q),…(E)Q,A)} 二维离散型随机变量 E)4: 在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命 Ω={ t | 0≤ t≤ T} 寿命:一维连续型随机变量

16. 随机事件( Random Events) 在随机试验中,随机事件一般是由若干个基本事 件组成的. 例如,抛掷一颗骰子,观察出现的点数,那么 “出现 1 点”、“出现 2 点”、 ... 、“出现 6 点”为该试 验的基本事件. A = {出现奇数点}是由三个基本事件 “出现出现奇数点}是由三个基本事件 “出现 1 点”、“出现 3 点” 、 “出现 5 点” 组合而成的随机 事件. 样本空间 Ω的任一子集 A 称为随机事件 A   属于事件 A 的样本点出现,则称事件 A 发生。

17. 特例—必然事件 Certainty Events  必然事件 —— 记作 Ω •样本空间 Ω 也是其自身的一个子集 •Ω 也是一个“随机”事件 •每次试验中必定有 Ω 中的一个样本点出现 •必然发生  例 • “ 抛掷一颗骰子,出现的点数不超过 6” 为

18. 特例—不可能事件 Impossible E)vent  不可能事件 —— 记作 Φ •空集 Φ 也是样本空间的一个子集 •Φ 也是一个特殊的“随机”事件 •不包含任何样本点 •不可能发生  例 • “ 抛掷一颗骰子,出现的点数大于 6” 是

19. 随机试验:抛掷硬币 Tossing a coin  随机试验 掷一枚均匀的硬币,观察它出现正面或反面的情况  试验的样本点和基本事件 • H :“正面向上” • T :“反面向上”  样本空间 Ω={H , T} .

20. 随机事件 试验:掷一枚硬币三次,观察它出现正面或反面的情况 Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT} A=“ 正面出现两次” ={HHT,HTH,THH} B=“ 反面出现三次” ={TTT} C=“ 正反次数相等” = Φ D=“ 正反次数不等” =Ω

21. 随机试验:抛掷两颗骰子 Rolling two die  随机试验 抛掷两颗骰子,观察出现的点数 样本空间 Ω ={出现奇数点}是由三个基本事件 “出现( 1 , 1 ),( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ), ( 1 , 4 ),( 1 , 5 ),( 1 , 6 ), ... ,( 6 , 1 ),( 6 , 2 ), ... ,( 6 , 6 )}.

22. 随机事件 试验:抛掷两颗骰子,观察出现的点数 A=“ 点数之和等于 3” ={ ( 1 , 2 ),( 2 , 1)} B=“ 点数之和大于 11”={6 , 6} C=“ 点数之和不小于 =Ω 2” D=“ 点数之和大于 1 = Φ 2”

23. 第二节 事件的关系与运算 事件 事件之间的关系与事件的运算 集合 集合之间的关系与集合的运算 给定一个随机试验,设 Ω 为其样本空间,事 件A,B, Ak ( k =1 , 2 , 3 , ... ) 都是 Ω 的 子集.

24. 子事件 (E) 事件的包含 Contain ) 事件A是事件B的子事件  事件A发生必然导致事件B发生  事件A的样本点都是事件B的样本点  记作 A  B B A BA 例如 抛掷两颗骰子,观察出现的点数 A={ 出现 1 点 }B={ 出现奇数 A  B

25. 相等事件( E)qual ) B  A且 A  B  A=B  B A 事件 A 与事件 B 含有相同的样本点 例如:在投掷一颗骰子的试验中,事件“出现偶数点” 与事件“出现 2 , 4 或 6 点”是相等事件。

26. 和事件 Union 和事件 A∪B 发生 A 发生或 B 发生  事件 A 与事件 B 至少有一个发 生  由事件 A 与事件 B 所有样本点组成  B A B A n  多个事件的和 A1  A2  An =Ai i 1  A1  A2  An  = A i 1 i

27. 积事件 Intersection 积事件 AB 发生 事件A和事件B同时发生  由事件A和事件B的公共样本点组成  AB B A A∩B n  多个事件的积 A 1 A 2  A n A i i 1  A 1 A 2  A n  A i i 1

28. 互斥事件 (E) 互不相容事件 ) E)xclusive 事件 A 与事件 B 互斥 AB=Φ  事件 A 与事件 B 不能同时发生  事件 A 与事件 B 没有公共的样本点  A B

29. 对立事件 Contrary  事件 A 不发生  是由所有不属于 A 的样本点组成  记作 A A A  性 AA  A  A  ( A)  A 质