用Poisson估計binomial - 國立臺灣大學資訊工程學系

1 .機率 台大資工系 呂學一 http://www.csie.ntu.edu.tw/~hil/prob/ 1

2 .三種常見的離散隨機變數 Bernoulli Binomial Poisson 2

3 .The Bernoulli Family 3

4 .Bernoulli random variable 4 We say that X is a Bernoulli random variable with parameter p with 0 ≤ p ≤ 1 if P ( X = 1) = p ; P ( X = 0) = 1 – p . Q: Such an X is a discrete random variable, because _______________________.

5 .Probability mass function 5

6 .檢查一下質量函數的和 6

7 .Expectation 7

8 .Variance: 兩個算法 8

9 .Binomial random variable 9 We say that X is a binomial random variable with parameter ( n , p ) if X is the sum X 1 + X 2 + … + X n of n independent random variables X 1 , X 2 , … , X n , where each X i is a Bernoulli random variable with parameter p . Q: Such an X is a discrete random variable, because _______________________. Q: 可以說 X = n * Y , where Y is a Bernoulli random variable with parameter p 嗎 ?

10 .Probability mass function 10 二項式分佈 --- 因為在 p =0.5 時，第 x 個機率質量 是第 x 個二項式係數乘上 1/2 n 。

11 .檢查一下質量函數的和 11 紅色 (i.e., 倒數第二個 ) = 是根據二項式定理

12 .Expectation 12

13 .Variance 13

14 .三顆骰子 每顆出現一點的骰子  賺一元 三顆骰子都不是一點  賠一元 獲利的期望值是多少 ? 14

15 .硬算 15

16 .稍微加速算 16

17 .Siméon Denis Poisson 1781 – 1840 法國數學家、物理學家 17

18 .Poisson random variable 18

19 .驗算 : 確定是個隨機變數 19 Q: 這是一個 離散 隨機變數嗎 ?

20 .每一頁有幾個錯字 社區中有幾個人活到一百歲 一天之中有幾通電話撥錯號碼 … 常見的 Poisson 分佈 20 國立台灣大學 資訊攻城學系

21 .期望值 21

22 .Variance 22

23 .Poisson 是 binomial 的某種極限 23

24 .用 Poisson 估計 binomial 於是如果 n 大 p 小，則 Poisson with parameter np 通常是 binomial with parameter ( n , p ) 有準頭又容易計算的近似機率分佈。 24

25 .發票兌獎 25

26 .Poisson 超好用 26

27 .帽子問題 n 個人各有一頂自己的帽子，現在隨機重新分配這 n 頂帽子讓每個人都分到一頂，令 X 代表有幾個人拿到自己的帽子，則 E [ X ] = Var ( X ) = 1 。 雖然這個 X 並非 binomial random variable ，還是可以用 Poisson random variable Y with parameter 1 來 approximate: 至少我們已經知道 E [ Y ] = Var ( Y ) = 1 了。這是因為任兩個人之間，個人是否拿到自己帽子的相依性並不高。 27

28 .準確計算 ( 參考 slide 05)

29 .粗略估計 29