10 统计学基础--假设检验（二）

1 . Lec10: b u ( ) Ü•² 2011 c 4 18 F 1 š oNeëê u 1.1 •ê©Ùëê u X1 , · · · , Xn •lÏ"´1/λ •ê©ÙoN¥Ä {ü §•ÄXen«/ª b u ¯Kµ 1. H0 : λ ≥ λ0 ↔ H1 : λ < λ0 2. H0 : λ ≤ λ0 ↔ H1 : λ > λ0 3. H0 : λ = λ0 ↔ H1 : λ = λ0 n n 5¿ Xi ´ëêλ ¿©ÚOþ§9ëê1/λ à ¯ O•X …2λ Xi ∼ χ22n" Ïd§ i=1 i=1 éu b ¯K1§˜‡Ün u • n φ: Xi > cž§áýH0 , Ø,Ò É i=1 Ùõ ¼ê• n n βφ (λ) = P ( Xi > c) = P (2λ Xi > 2λc) i=1 i=1 1 •λ ~¼ê" –¦þª u u᧕Iβφ (λ0 ) = α§l c= 2λ0 χα (2n)" Ï 2 ¤¦ u • n 1 2 φ: Xi > χ (2n)ž§áýH0 , Ø,Ò É i=1 2λ0 α aqŒ± 2§3 u • n 1 2 φ : Xi < χ (2n)ž§áýH0 , Ø,Ò É i=1 2λ0 1−α Ú n 1 2 φ: Xi < χ (2n) ½ i=1 2λ0 1−α/2 

2 . n 1 2 Xi > χ (2n)ž§áýH0 , Ø,Ò É i=1 2λ0 α/2 3•êoN¥§·‚•a, ´Xeü«a. —µ (a) ½ê — ±¢~`²" b ,«>f ‡ Æ·Ñl•ê©Ù§Ä n‡ ‡ÿÙÆ·" Á c½ e˜‡g,êr < n§Á ?1 kr‡ ‡” ž•Ž§Pùr‡ ‡” ž•• 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tr Ù¥ti L«1i‡” ‡ ” ž•" •Ò´`§·‚ * Š´0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ · · · ≤ tr . dž§q,¼ê• r L(λ) = [ λe−λti ]e−(n−r)λtr i=1 r Ïd 1/λ q, O•T /r = 1r [ ti + (n − r)tr ]" i=1 ^ X1 , · · · , Xn L«Ä §KþãQãL²·‚ Xe&E:/X(1) , · · · , X(r) * Št1 , · · · , tr 0 " ½ö d `§kr‡ ‡ Æ·´t1 , · · · , tr §„kn − r‡ ‡ Æ·Œ utr"Ïd3ù«œ¹e§éb u ¯K1§˜‡Ün u ´ r φ: X(i) + (n − r)X(r) > cž§áýH0 , Ø,Ò É i=1 r •(½~êc§I‡• ÚOþT = i=1 X(i) + (n − r)X(r) ©Ù"ŠC† Y1 = nX(1) , Yi = (n − i + 1)(X(i) − X(i−1) ), i = 2, · · · , n. KdX(1) , · · · , X(n) éÜpdf n f (x; λ) = n!λn e−λ i=1 x(i) I(0 < x(1) ≤ · · · ≤ x(n) ) N´ Y1 , · · · , Yn éÜpdf n g(y; λ) = λn e−λ i=1 yi I(yi > 0, i = 1, · · · , n) r =Y1 , · · · , Yn ƒpÕá…ÑlÑÑl•ê©Ù" T = i=1 Yi §Ïdk2λT ∼ χ22r" l aq uc¡ ?n•{Œ± c= χ2α (2r)/2λ0 § u φ• r 1 2 φ: X(i) + (n − r)X(r) > χ (2r)ž§áýH0 , Ø,Ò É i=1 2λ0 α aqŒ± 2§3 u • r 1 2 φ : X(i) + (n − r)X(r) < χ (2r)ž§áýH0 , Ø,Ò É i=1 2λ0 1−α Ú r 1 2 φ : X(i) + (n − r)X(r) < χ (2r)½ i=1 2λ0 1−α/2 2 

3 . r 1 2 X(i) + (n − r)X(r) > χ (2r) i=1 2λ0 α/2 ž§áýH0 , Ø,Ò É (b) ½ž — †½ê —ƒé Ò´½ž —§=3Á c§¯k(½˜‡žmT0 § ¢ ?1 t0 ž ∗ •ÒÊŽ ‡Á "r ùž•Ž Ün ‡ ‡ Æ·\å5P•T §Ž{•µ ,‡ ‡3 ž•T0 ƒc ,‡ž•t” §KT ‡ Æ·Ò´t§e T0 ž•T ‡„vk” §KT ∗ ‡ Æ·ÒP•T0" w,§²þÆ· Œ§KT –•u Œ Š" u´éb u ¯ K1§˜‡Ün u Œ± • φ: T ∗ > cž§áýH0 , Ø,Ò É Œ±y²§Cq/k2λT ∗ ∼ χ22u+1 §ùpu´ ž•T0 •Žž” ‡ê"Ïdb 1-3 u • 1 2 φ: T∗ > χ (2u + 1)ž§áýH0 , Ø,Ò É 2λ0 α aqŒ± 2§3 u • 1 2 φ : T∗ < χ (2u + 1)ž§áýH0 , Ø,Ò É 2λ0 1−α Ú 1 2 1 2 φ : T∗ < χ (2u + 1) ½ T ∗ > χ (2u + 1) 2λ0 1−α/2 2λ0 α/2 ž§áýH0 , Ø,Ò É 1.2 ‘©Ùëêp u ,‡¯‡3˜gÁ ¥u) VÇ•p§p™•" ŠngÕá Á §zg* T¯‡´ Äu)"±XPT¯‡u) ogê§KX ∼ B(n, p)§ŠâX u Xe b µ 1. H0 : p ≤ p0 ↔ H1 : p > p0 2. H0 : p ≥ p0 ↔ H1 : p < p0 3. H0 : p = p0 ↔ H1 : p = p0 w, p• §KX•–•u ê"Ïd§éb 1§˜‡Ün u • φ: X > cž§áýH0 , Ø,Ò É Ùõ ¼ê• c n i n−i βφ (p) = P (X > c) = 1 − P (X ≤ c) = 1 − pq i=0 i 3 

4 . n! 1−p k 5¿ P (X ≤ k) = k!(n−k−1)! 0 t (1 − t)n−k−1 dt§=βφ (p)•p O¼ê" Ïd–¦þª u u᧕Iβφ (p0 ) = α"= c n i n−i p q =1−α i=0 i 0 0 d•§ vk ê)§ ~„ ´•3c0 §¦ c0 c0 +1 n i n−i n i n−i p q <1−α< p q i=0 i 0 0 i=0 i 0 0 ùž§˜‡²~æ^ u ´ φ: X ≤ c0 ž§ ÉH0 ; X > c0 + 1ž§áýH0 ; X = c0 + 1ž§I‡ û (=2Š‘ÅÁ ½öUì,«ÑÓ¿ OK)" aq éb 2Ú3§Œ± ˜‡u • φ : X ≥ cž§ ÉH0 , Ø,Òáý Ù¥cd c−1 n i n−i p q =α i=0 i 0 0 (½" φ : c1 ≤ X ≤ c2 ž§ ÉH0 , Ø,Òáý Ù¥c1 , c2 d c1 −1 n n i n−i n i n−i p q + p q =α i=0 i 0 0 i=c i 0 0 2 +1 (½"~~- c1 −1 n i n−i p q = α/2 i=0 i 0 0 n n i n−i p q = α/2 i=c2 +1 i 0 0 ±½Ñc1 , c2" 1.3 PoissonoNëê u éPoissonoNëê u § aqu ‘©ÙoNëê u "•ÄXen«/ª b 1. H0 : λ ≤ λ0 ↔ H1 : λ > λ0 4 

5 . 2. H0 : λ ≥ λ0 ↔ H1 : λ < λ0 3. H0 : λ = λ0 ↔ H1 : λ = λ0 X•lPoissonoNP (λ)¥Ä §·‚‡ŠâX5u þãn‡b " duX•λ à O§l éb 1§˜‡Ün u • φ: X > cž§áýH0 , Ø,Ò É Ùõ ¼ê• c λi −λ βφ (λ) = P (X > c) = 1 − e i=1 i! ∞ tk −t 5¿ P (X ≤ k) = λ k! e dt§¤±βφ (λ)•λ O¼ê" l –¦βφ (λ) ≤ αé?¿ λ≤ λ0 ¤á§•Iβφ (λ0 ) = α,= c λi0 −λ0 e =1−α i=1 i! e•§k ê)§KŒ±½Ñc§u φ•Ò (½ " ´d•§•´ vk ê)§~ „ ´•3 êc0 §÷v c0 c0 +1 λi0 −λ0 λi0 −λ0 e <1−α< e i=1 i! i=1 i! ùž§˜‡²~æ^ u ´ φ: X ≤ c0 ž§ ÉH0 ; X > c0 + 1ž§áýH0 ; X = c0 + 1ž§I‡ û (=2Š‘ÅÁ ½öUì,«ÑÓ¿ OK)" aq éb 2Ú3§Œ± ˜‡u • φ : X < cž§áýH0 , Ø,Ò É Ù¥cd c−1 λi0 −λ0 e =α i=0 i! (½" φ : X < c1 ½ X > c2 ž§áýH0 , Ø,Ò É Ù¥c1 , c2 d c1 −1 n λi0 −λ0 λi0 −λ0 e + e =α i=0 i! i=c +1 i! 2 (½"~~- c1 −1 λi0 −λ0 e = α/2 i=0 i! 5 

6 . n λi0 −λ0 e = α/2 i=c2 +1 i! ±½Ñc1 , c2" 1.4 4•©Ù• ©Ù u * NþnO Œ§ù‡žÿ·‚Œ±Šâ¥%4•½n§éëê?1u " ù«•{ ¡•/Œ u •{0 "·‚ÞA‡~f`²" 1. Behrens-Fisher ¯K ~1. [Behrens-Fisher Problem] X1 , · · · , Xn ÚY1 , · · · , Ym •©O5g oNN (θ1 , σ12 )ÚN (θ2 , σ22 )§ …ü| Õá"θ1 , θ2 , σ12 , σ22 Ñ™•"‡u b H0 : θ1 = θ2 ↔ H1 : θ1 = θ2" )µdu ¯ − Y¯ − (θ1 − θ2 ) X ∼ N (0, 1) σ12 σ22 n + m ¥¹k™•ëêσ12 , σ22 § ØUlþª(½ .Š" u´±SX 2 5 Oσ12 ÚSY2 5 Oσ22 §Šâ ŒêƧ n, m Œž§k ¯ − Y¯ − (θ1 − θ2 ) X 2 2 ∼ AN (0, 1) SX SY n + m u´§·‚ b H0 áý•• ¯ − Y¯ | |X 2 /n + S 2 /m > u SX α/2 . Y ~2. •Ä ‘©Ùëêp u : H0 : p = p0 § n錞§c1 , c2 Ã{l ‘©ÙLþ " √ Šâ¥%4•½n§ b p = p0 ¤á…nv Œž§k(X − np0 )/ np0 q0 ∼ AN (0, 1)§Ï dŒ±JÑXe u µ √ |X − np0 |/ np0 q0 > uα/2 žáýH0 §Ø,Ò É" ù u^þãØ ª üà ŠŠ•c1 , c2 Š" ùü‡Š'c1 , c2 (ƒŠ‡N´OŽ õ" Œ u •{´Ø ® ^ •{" l Ÿþù§ùp^ Œ •{E,´I‡l†*þ‰Ñu /ª "† lêÆí þ u •{„kBayes•{Úq,'u •{ §d?·‚{ü0 ˜eq,u '• {" 2. ‘©ÙÚPoisson©Ùëê Œ u n X1 , . . . , Xn i.i.d. ∼ b(1, p), w„T = Xi ∼ b(n, p), •Äe u ¯K: i=1 H0 : p = p0 ←→ H1 : p = p0 (1.1) 6 

7 .d?p0 Úu Y²α‰½. L dÕáÓ©Ù|Ü ¥%4•½nŒ•: (T − np)/ np(1 − p) −→ N (0, 1), n −→ ∞ž, H0 ¤á, =p = p0 žk T − np0 L U= −→ N (0, 1), n −→ ∞ž np0 (1 − p0 ) Ïd UŠ•u ÚOþ. n Œž, UŒ±Cq@•ÑlN (0, 1)©Ù. dUu {Œ•u ¯ K(1.1)Y²Cq•α Ľ•• D = (X1 , . . . , Xn ) : |T − np0 |/ np0 (1 − p0 ) > uα/2 aqŒ¦ü‡ü>u ¯K H0 : p ≤ p0 ←→ H1 : p > p0 H0 : p ≥ p0 ←→ H1 : p < p0 Œ u . 2•ÄPoisson©Ù Œ u ¯K. X1 , . . . , Xn •gPoissonoNp(λ)¥Ä ‘Å , •Äu ¯K H0 : λ = λ0 ←→ H1 : λ = λ0 (1.2) d?λ0 Úu Y²α‰½. n √ L duT = i=1 Xi Ñlëê•nλ Poisson©ÙP (nλ).d¥%4•½nŒ•: (T −nλ)/ nλ −→ N( 0, 1), n −→ ∞ž. Ïd H0 ¤á, =λ = λ0 žk T − nλ0 L U0 = −→ N (0, 1), n −→ ∞ž. nλ0 ÏdŒ U0 Š•u ÚOþ. n Œž, U0 Œ±Cq@•ÑlN (0, 1)©Ù. dUu {Œ•V >u ¯K(1.2) Y²Cq•α Ľ•• D = {(X1 , . . . , Xn ) : |T − nλ0 | nλ0 > uα/2 } aq•{Œ¦'uλ ü‡ü>u ¯K H0 : λ ≤ λ0 ←→ H1 : λ > λ0 H0 : λ ≥ λ0 ←→ H1 : λ < λ0 Œ u . e¡•Äü u ¯K. X1 , . . . , Xm i.i.d. ∼ b(1, p1 ), Y1 , . . . , Yn i.i.d. ∼ b(1, p2 ),…Ü X1 , . . . , Xm , Y1 , . . . , Yn ƒpÕá. ¦e u ¯K: H0 : p2 − p1 = 0 ←→ H1 : p2 − p1 = 0 (1.3) u Y²α‰½. ¯ Y¯ ©O•ü| PXÚ þŠ. d¥%4•½nŒ• ¯ − Y¯ − (p − p ) X L 2 1 −→ N (0, 1), n, m −→ ∞ ž. p1 (1 − p1 )/m + p2 (1 − p2 )/n 7 

8 . H0 ¤áž, =p1 = p2 = pž, òp^Ü O, = m n 1 pˆ = Xi + Yj m+n i=1 j=1 Kk ¯ − Y¯ X mn L U∗ = −→ N (0, 1), m, n −→ ∞ ž. pˆ(1 − pˆ) m+n Ïd U ∗ •u ÚOþ, m, nÑ Œž, UŒ@•CqÑlN (0, 1)©Ù. dUu { V> u ¯K(1.3) u Y²Cq•α Ľ•• D = {(X1 , . . . , Xm , Y1 , . . . , Yn ) : | U ∗ | > uα/2 }. „Œ±^aq•{?Øe ü‡ü>u ¯K H0 : p2 ≤ p1 ←→ H1 : p2 > p1 H0 : p2 ≥ p1 ←→ H1 : p2 < p1 Œ u . Poisson©Ù ü u ¯KŒ^aq•{?Ø, u ÚOþ À Úu Ľ• /ª 3‰ÖöŠ•öS. 2 b u †«m O b u †«m Oùü‡ÚOíä /ªL¡þwД ØÓ, ¢Sþüöƒmk Xš~—ƒ 'X. düëêb u ¯K Y²•α u , Œ± Tëê ˜&Xê •1 − α ˜&«m,‡ƒ½,. äN`²Xe. ˜!XÛdb u ˜&«m ‡¦θ ˜&Xê•1 − α ˜&«m. •ÄV>u ¯K H0 : θ = θ0 ←→ H1 : θ = θ0 . ¦ÑY²•α Ľ•D, ¯ K7k É••D, ¯ 0 ) = 1 − α, P (D|H (2.1) ¯ dD(½ Ø ª XeØ ª: θˆ1 (X) θ0 θˆ2 (X), du(2.1)´3^‡“H0 : θ = θ0 ”e¤ á,Uθ0 •θ ˆ θ1 (X) θ θˆ2 (X), K[θˆ1 (X), θˆ2 (X)]=•¤¦ ˜&Xê•1 − α ˜&«m. e‡¦θ ˜&þ! e•, ÒI‡•Äü>u H0 : θ θ0 ←→ H1 θ > θ0 ½H0 : θ θ0 ←→ H1 : θ < θ0 u ¯K. e¡ÏL~f5`². ~5.3.1 X1 , . . . , Xn •g oNN (µ, σ 2 ) Ä ‘Å . µ, σ 2 ™•, ‡©O ¦µ Úσ 2 ˜&Xê•1 − α ˜&«mÚ˜&þ!e•. k•Äµ ˜&«mÚ˜&þ!e•¯K. 3§5.2 ¥®‰Ñb 8 

9 . H0 : µ = µ0 ←→ H1 : µ = µ0 Y²•α u Ľ• D = {(X1 , . . . , Xn ) : |T | tn−1 (α/2)}, √ ¯ − µ0 )/S.Pθ = (µ, σ 2 ), ¯ Ù¥T = n(X kPθ (|T | > tn−1 (α/2) | H0 ) = α. d/, é É• D k √ ¯ − µ0 )/S| Pθ (| n(X tn−1 (α/2) | H0 ) = 1 − α. (2.2) duþã ª´3^‡H0 ¤á, =µ = µ0 ž¼ , Ïd·‚òe¡Ñy ¤kµ0 ^µ“O´ d . )(2.2))Ò¥ Ø ª H0 ¤á ^‡ekµ = µ0 , µ ¯ − √S tn−1 (α/2) X µ ¯ + √S tn−1 (α/2) X n n Ïd ¯− X √S tn−1 (α/2), ¯+ X √S tn−1 (α/2) n n =•µ ˜&Xê•1 − α ˜&«m. e‡¦µ ˜&e•, K•Äu ¯K H0 : µ µ0 ←→ H1 : µ > µ0 . 3§5.2¥®‰ÑY²•α Ľ•D = {(X1 , . . . , Xn ) : T > tn−1 (α)}, Ù É• ¯ = {(X1 , . . . , Xn ) : T D tn−1 (α)} . Ïdk √ Pθ ¯ − µ0 )/S n(X tn−1 (α) | H0 = 1 − α ))Ò¥ Ø ª ¯ − √S tn−1 (α) X µ0 , n ¯ − √S tn−1 (α) ≤ µ < ∞ Ïdµ 2Uµ0 •µ X ˜&Xê•1 − α ¯ − √S tn−1 (α). ˜&e••X n n ÓnŒ¦µ ˜&Xê•1 − α ¯+ ˜&þ••X √S tn−1 (α). n 'u oN• σ2 ˜&«mÚ˜&þ!e•3‰ÖöŠ•öS. ~5.3.2 X1 , . . . , Xn ÚY1 , . . . , Yn ©Og oNN (µ1 , σ 2 ) ÚN (µ2 , σ 2 ) ¥Ä { ü‘Å . …Ü X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Yn ƒpÕá. -µ = µ2 − µ1 , ¦µ ˜&Xê•1 − α ˜&«mÚ˜&þ!e•. ) 3§5.2¥®é H0 : µ = µ0 ←→ H1 : µ = µ0 ü tu Ľ•: D = {(X, Y) : |T | > tn+m−2 ( α2 )}, 9 

10 .Ù¥u ÚOþ• Y¯ −X−µ ¯ mn T = Sw 0 m+n , 1 d?Sw 2 = n+m−2 [(m − 1)S12 + (n − 1)S22 ], S12 ÚS22 ©O•ü| • . ePθ = (µ1 , µ2 , σ ),KkPθ (|T | > tn+m−2 (α/2) | H0 ) = α. aquþ~ 2 ?Ø, é ¯ k É•D Y¯ − X¯ − µ0 mn Pθ tm+n−2 (α/2) H0 = 1 − α, (2.3) Sw m+n )(2.3))Ò¥ Ø ª ¯ − Sw tn+m−2 α Y¯ − X 1 + 1 µ ¯ + Sw tn+m−2 α Y¯ − X 1 + 1 2 m n 2 m n 3H0 ¤á cJe, ŒUþª¥ µ0 •µ, Ïdµ = µ2 − µ1 ˜&Xê•1 − α ˜&«m• ¯ − Sw tn+m−2 α Y¯ − X 1 1 ¯ + Sw tn+m−2 α + , Y¯ − X 1 + 1 2 m n 2 m n aq•{¦ µ = µ2 −µ1 ˜&Xê•1−α ˜&e!þ•©O•Y¯ −X−S ¯ w tn+m−2 (α) 1 m + 1 n ÚY¯ − X ¯ + Sw tn+m−2 (α) 1 m + 1 n . ùp·‚b½ üoNkƒÓ • σ2 . e Kù˜b , b½üoN • ©O•σ12 Úσ22 , KÒ Í¶ Behrens-Fisher¯K, d§5.2¥1ÊÜ©¥‰Ñ Behrens-Fisher ¯K Œ u •{Ú˜‡ Cq•{, ^aq •{•Ó Œ± ˜‡Cq Behrens- Fisher¯K «m O/ª(ù®3§4.2¥?ØL, lÑ) . ü oN• ' ˜&«mÚ˜&þ!e•XÛÏLb u •{ , 3‰ÖöŠ öS. !XÛd˜&«m b u e·‚^,«•{ïá θ ˜&Y²•1 − α «m O[θ1 , θ2 ], 鉽 θ0 ØJ¦Ñ u ¯KH0 : θ = θ0 ←→ H1 : θ = θ0 ˜‡Y²•α u . ¯¢þ, ˜‡{ü•{Ò´ eθ0 ∈ [θ1 , θ2 ] K ÉH0 , ÄKÒáýH0 . aq•{Œd˜&Xê•1 − α ˜&þ!e•¦Ñu ¯KH0 : θ θ0 ←→ H1 : θ < θ0 ÚH0 : θ θ0 ←→ H1 : θ > θ0 Y²•α u . n!b u Ú«m O ' †: OÚb u ' , «m Où˜íä/ªk˜‡wÍ A:, =§ °(Ý (˜„ Œ^«m •Ý•x) ÚŒ‚Ý(^Ù˜&Xê•x) ˜8 ,. : OØä ù‡A:, âr¦ <‚•Ä«m O. …«m OŒ±3°(Ý!Œ‚ÝÚ Œ nƒmN , ±ˆ ýk• ½ ‡¦. b u Jø &EØX«m O(ƒ, žwe~: l oNN (µ, σ ) ¥Ä 2 ˜½Œ u b H0 : µ = 0 ←→ H1 : µ = 0. (J b É . X·‚3§5.1¥¤ã, ù¿Ø¿›X/y²0 µ = 0. bX·‚•• µ=0 10 

11 . É , ·‚$–Ã{ þý µ Š†0 ƒ kõŒ. XJ·‚ w•µ äk95% ˜& Xê «m O•[−0.05, 0.07] ½ö´[−15, 20], K3c˜‡|Ü, µ †0ƒå•ŒØ‡L0.07,ù oŒ ˜‡Š3¢^þŒUÃ';‡. ùž·‚Òk˜½ rº(0.95)`µ /¯¢þ0Œ±@• ´0, ØŽ´ É/µ = 00 . e3 ˜|Ü, •Kµ = 0 ù‡b • É(Ï•0ù‡:3« m[−15, 20] S) , ϵ ŒU‰ŒéŒ, ¢Sþ·‚•U`éµ /•ƒ$ 0. ‡ƒ, e·‚ /µ = 0 Ľ0. ·‚lùé{••• k' wÍ yâ@•µ = 0, „Ã{• Ù¢S¿ÂXÛ. XJ·‚ w•: µ «m O•[0.01, 0.02] ½[−40, −30]. 3 c˜|Ü, •,µ = 0 Ľ(Ï•0Ø3«m[0.01, 0.02] S) , µ †0 •Œ åØL0.02, ùo ˜‡ŠŒU¢Sþ†0ÃÉ. Ïd, •,3ÚOþĽ µ = 0, ¯¢þŒ±@•µ = 0. 3 ˜‡|ܵ Š†0ƒå– ´30, Ø=‡Ä½µ = 0,l¢Sþwµ •wÍÉu0. ù ©Û`², «m O¤Jø &E'b u ••(ƒ. ù•J2·‚: 1. éb u (J ¢S¹Â )º‡›© %. 2.3 b u (Jž, •Ð•ò u ëê «m O ¦Ñ5Š•ë•. 11