07 统计学基础——区间估计(一)

主要介绍了区间估计的基本概念:区间估计、置信区间、置信限、置信域等等;详细介绍了构造区间估计的方法:枢轴变量法——正态总体参数的置信区间,以及枢轴变量法——非正态总体参数的置信区间。
展开查看详情

1. Lec7: «m O(˜): ˜&«m Ü•² 2011 c 3 28 F 1 «m O Ä Vg ˜!ëê «m O¯K ¦^: Oˆ g (X) Og(θ) ":´: ül¤‰Ñ OŠþ, Ã{wѧ °ÝkõŒ. ,\Œ±½Â,«•I, X O þ•Ø ƒa •x§ °Ý, •„´m . •† • {´•Ñ ˜‡Ø •d(X), r O ¤ˆ g (X) ± d(X) /ª. ù¢SþÒ´˜««m O, = Og(θ) Š3[ˆ g (X) − d(X), gˆ(X) + d(X)] ƒS. òÙ˜„z, ‰Ñ«m O e ½Â. ½ Â1 k˜‡ëê©ÙxF = {f (x, θ), θ ∈ Θ}, g(θ) ´½Â3ëê˜mΘ ˜‡® •¼ê, X = (X1 , · · · , Xn ) ´l©Ùx¥,oNf (x, θ) ¥Ä , -ˆ g1 (X) Úˆ g2 (X) •½ Â3 ˜mX þ, Š3Θ þ ü‡ÚOþ, …ˆ g1 (X) ≤ gˆ2 (X), K¡‘Å«m[ˆ g1 (X), gˆ2 (X)] •g(θ) ˜‡«m O(Interval estimation). Šâù‡½Â, l/ªþw, ?Û˜‡÷v^‡ˆ g1 ≤ gˆ2 ÚOþˆ g1 , gˆ2 ÑŒ ¤g(θ) ˜ ‡«m O[ˆ g1 , gˆ2 ]. Q,˜‡™•ëê «m Okéõ«, XÛl¥]À˜‡Ð «m O Q? ùÒ 9 µd˜‡«m O` IO¯K. µd˜‡«m O` IOkü‡‡ƒ: Œ‚5†°(Ý(•¡°Ý). Œ‚5´•– ëêg(θ) •¹3[ˆ g1 , gˆ2 ] S ŒU5kõŒ. ŒU 5 Œ, Œ‚5 p. °(ÝŒd‘Å«m ²þ•Ý5Ýþ. •Ý á, °(Ý p. Øó ’, ·‚F"¤Š «m OQkp Œ‚5, qkp °(Ý. ù ö ´* dgñ , ØŒUÓžÑép. Œ ½ž, e°(ÝJp , Œ‚5Òü$ ; ‡ƒ, e Œ‚ÝJp , K°(ÝÒü$ . XÛ E¦ŒUp Œ‚5Úp°(Ý «m OQ? Ï~æ^ •{´3 y˜½Œ‚ Ý cJeÀJ°(ݦŒUp «m O. ùҴͶÚOÆ[Neyman JÑ ˜«þ • Y. ,, XJ3A^¥<‚‡¦Œ‚5Ú°ÝÑép, K7L\Œ Nþ, •Ò´`‡õ‰ ˜ Á , âŒU¢y. !˜&«m •Ö {üO, !±eb½ O g(θ) Ò´θ g , ù†˜„œ¹vk K«O.

2. 1. ˜&Ý X• , [θˆ1 (X), θˆ2 (X)] ´θ ˜‡«m O. duθ ´™• , … ´‘Å , ·‚ ØU y3?Ûœ¹e(=é?ÛäN Š), «m[θˆ1 , θˆ2 ] 7½•¹θ , •U±˜½ VÇ y§. F"‘Å«m[θˆ1 , θˆ2 ] •¹θ VÇPθ (θˆ1 ≤ θ ≤ θˆ2 ) Œ Ð. ù‡VÇÒ´·‚c¡ ¤` Œ‚5, ênÚOÆþ¡ù‡VÇ•˜&Ý. ˜„`5, ù‡Vdžθ k', bX˜‡«m Oé,‡θ1 ∈ Θ Ù˜&ÝŒ, é,˜‡θ2 ∈ Θ Ù˜&Ý , @où««m O ·A5‡ ˜ , ØU@•´˜‡Ð «m O. eéëê˜mΘ ¥ ?˜θ, Ù˜&ÝÑéŒ, Kd«« m OÒ´˜«Ð «m O. ÏdkXe½Â. ½ Â2 ‘Å«m[θˆ1 , θˆ2 ] •ëêθ ˜‡«m O, K¡˜&Ý3ëê˜mΘ þ e( . inf Pθ θˆ1 ≤ θ ≤ θˆ2 θ∈Θ •T«m O ˜&Xê(Confidence coefficient) w,, ˜‡«m O ˜&Ý Œ Ð. • OŽ˜&ÝÚ˜&Xê, I‡|^ÚOþ ° (©Ù½ìC©Ù. Œ„Ä ©Ù3µdÚ E«m O¥už-‡Š^. 2. °(Ý °(Ý Vg·‚3c¡®`L. °(Ý IOØŽ˜‡. ùp0 Ù¥•~„ ˜‡I O, =‘Å«m[θˆ1 , θˆ2 ] ²þ•ÝEθ (θˆ2 − θˆ1 ). ²þ•Ý á, °(Ý p, ù•´ÎÜ¢S ˜‘‡¦. •`²°(ÝÚ˜&Ý9Ù'X, žwe~. ~1 X = (X1 , · · · , Xn ) 5g oNN (µ, σ 2 ), Ù¥−∞ < µ < ∞, σ 2 > 0. µ ¯Ú 1 n ¯ 2 ¯ √ ¯ Úσ 2 Oþ©O´ þŠX • S = n−1 2 i=1 (Xi −X) , ·‚^[X−kS/ n, X+ √ kS/ n] Š•oNþŠµ «m O. •ÄÙ˜&ÝÚ°(Ý. ) þã«m O ˜&Ý• √ √ √ ¯ − kS/ n ≤ µ ≤ X Pµ X ¯ + kS/ n = Pµ ¯ − µ)/S ≤ k n(X = P (|T | ≤ k), √ ¯ − µ)/S ∼ tn−1 , ٩نµ Ã', Ï «m O Ù¥T = n(X ˜&Xê•P (|T | ≤ k). w,k Œ, «m ˜&Xê Œ, «mÒ Œ‚. du(n − 1)S 2 /σ 2 ∼ χ2n−1 , ¤±«m ²þ•Ý• √ √ 2 2kσ Γ(n/2) lk = 2kE(s)/ n = . n(n − 1) Γ((n − 1)/2) w,,k Œ,«m• •,•Ò Ø°(. dd~Œ±w ,3 Nþn ‰½ ,• Jp˜&Ý, I‡O\k Š, l ˜Œ «m, ü$ °(Ý. ‡L5, • Jp°(Ý, I‡~ k Š, l á «m, ü$ ˜&Ý. ˜& ݆°(Ýpƒ› X. Xc¤ã, ¡éù˜gñ, ͶÚOÆ[Neyman ïÆæ Xe•Y: 3 y˜&Xêˆ •½‡¦ cJe, ¦ŒUJp°(Ý. ù˜ïÆ —Ú\Xe˜&«m V g,du´Neyman ïÆ , Ï~•¡˜&«m•Neyman ˜&«m. 2

3. ½Â3 [θˆ1 (X), θˆ2 (X)] ´ëêθ ˜‡«m O, e鉽 0 < α < 1, k Pθ θˆ1 (X) ≤ θ ≤ θˆ2 (X) ≥ 1 − α, 阃 θ ∈ Θ, K¡[θˆ1 (X), θˆ2 (X)] ´θ ˜&Y² (Confidence level )•1−α ˜&«m (Confidence interval). ˜&«mkXeªÇ)º: α = 0.05, K1 − α = 0.95 , er˜&«m [θˆ1 , θˆ2 ] ‡E¦^ õg, X¦^100 g, ²þŒ k95 g‘Å«m[θˆ1 , θˆ2 ] •¹ýëêθ , Œ ²þk5 g‘Å« m[θˆ1 , θˆ2 ] Ø•¹θ . ¦^gê¿©Œž, ªÇ Cu˜&Xê. n!˜&• 3˜ ¢S¯K¥, <‚a, kž==´™•ëê ˜&þ•½˜&e•. ~X˜«# á rÝ, ·‚'%§•$Ø uõ ; ˜‡ó‚ ¢¬Ç, ·‚'%§•p؇Lõ . ù•´˜««m O, ¡ƒ•˜&e•½˜&þ•, ½ÂXe: ½ Â4 θˆL (X) ÚθˆU (X) ´½Â3 ˜mX þ, 3ëê˜mΘ þ Š ü‡ÚOþ, e鉽 0 < α < 1 , k Pθ θˆL (X) ≤ θ ≥ 1 − α, 阃 θ ∈ Θ, Pθ θ ≤ θˆU (X) ≥ 1 − α, 阃 θ ∈ Θ, K©O¡θˆL (X) ÚθˆU (X) ´θ ˜&Y²•1 − α (üý) ˜&e• (Lower confidence limit)Ú ˜&þ• (Upper confidence limit). þª†àVÇ3ëê˜mΘ þ e(.©O¡•˜&e! þ• ˜&Xê. w,, é˜&e•θˆL ó, eE(θˆL ) Œ, K˜&e• °(Ý p; é˜&þ•θˆU ó, eE(θˆU ) , Ù°(Ý p. N´wÑ, üý˜&þ!e•Ñ´˜&«m A~. ÏdϦ˜&«m •{Œ±ÎØ( J/^5¦üý˜&þ!e•. üý˜&•†Vý˜&•ƒm•3X˜‡{ü éX, eã Ú nwŠ·‚, 3k üý˜&þ!e• , •ØJ¦ ˜&«m. Ún1 θˆL (X) ÚθˆU (X) ©O´ëêθ ˜&Y²•1 − α1 Ú1 − α2 üý˜&e!þ •, …é?Û X, ÑkθˆL (X) ≤ θˆU (X) , K[θˆL (X), θˆU (X)] ´θ ˜&Y²•1 − (α1 + α2 ) Vý˜&«m. y 3Ún b e, e n‡¯‡ θˆL (X) ≤ θ ≤ θˆU (X) , θ < θˆL (X) , θ > θˆU (X) ´p؃N , /n‡¯‡ƒ¿0•/7,¯‡0. 2•Ä Pθ θ < θˆL (X) = 1 − Pθ θˆL (X) ≤ θ ≤ α1 , Pθ θ > θˆU (X) = 1 − Pθ θ ≤ θˆU (X) ≤ α2 , Ïdk Pθ θˆL (X) ≤ θ ≤ θˆU (X) = 1 − Pθ θ < θˆL (X) − Pθ θ > θˆU (X) 3

4. ≥ 1 − (α1 + α2 ) . Ún y. o!˜&• ±þ?Ø ˜&«mÚ˜&þ!e•Ñ´b½ëêθ ´˜‘ , Œ±òÙí2 ëêθ ´k ‘(k ≥ 2) œ/, Ò Xe½Â ˜&•. ½Â5 k˜‡ëê©ÙxF = {f (x, θ), θ ∈ Θ}, Θ´ëê˜m. Ù¥θ = (θ1 , · · · , θk ) ∈ Θ ⊂ Rk , k ≥ 2. X = (X1 , · · · , Xn ) ´5g©Ùx¥,oNf (x, θ) . eS(X) ÷v (i) é?˜ X, S(X) ´Θ ˜‡f8; (ii)鉽 0 < α < 1, Pθ θ ∈ S(X) ≥ 1 − α, ˜ƒθ ∈ Θ; K¡S(X) ´θ ˜&Y²•1 − α ˜&•(Confidence region) ½˜&8, inf Pθ θ ∈ S(X) θ∈Θ ¡•˜&Xê. 3õ‘|Ü, ˜&•S(X) /GŒ±´ˆ«ˆ , ¢^þ••u˜ 5K AÛã/, XÙˆ¡†‹I²¡²1 ••N! ¥! ý¥ . AO ˜&8´••N(Ù¡†‹I²¡² 1) , K¡Ù•éܘ&«m. Ê! E«m O •{ 8cA^•2• «m O /ª´Neyman ˜&«m. Ù1 !Ú1n!ò0 ù ˜•{, ù˜•{ '…´Äu: O EͶCþ, Ïd•¡•Í¶Cþ{. , ˜« E«m O -‡•{´|^b u E˜&«m, §†Í¶Cþ{Óáu˜‡nØNX, =Neyman 'u˜&«mÚb u nØ. |^b u E˜&«m •{ò3e˜Ù k;€ ˜!0 . Ù • ü!ò0 «m O Ù§ü«•{, =Fisher & íä•{ÚN=«mÚ N=•. ^Bayes •{¦«m O SNò˜3 Ö • ˜Ù0 . 2 ͶCþ{— oNëê ˜&«m ˜!Úó ù‡•{ Ä ‡:, Ò´3ëê : OÄ:þ, é§ ˜&«m. du: O´d û½ , ´•kŒU CýëêθƒŠ. Ïd, Œ7: OŠ «m, •¹ýëêŠ ŒU5• Ò‡Œ˜ . žwe¡ ~f, ´XÛ E˜&«m . ~1 X = (X1 , · · · , Xn ) ´loNN (µ, σ 2 ) ¥Ä {ü‘Å , d?σ 2 ®•, ¦µ ˜&Xê•1 − α ˜&«mÚ˜&þ!e•. 4

5. ¯= n ¯ ∼ N (µ, σ 2 /n), òÙIO ) w,, µ ˜‡ûÐ : O´X 1 n i=1 Xi , ٩ٕX z √ ¯ − µ) n(X U= ∼ N (0, 1), σ ٩نµ Ã'. du ©Ù é¡5, Œ √ ¯ n(X − µ) Pµ ≤ uα/2 = 1 − α, σ d?uα/2 •IO ©Ù þýα/2 © ê. ²Ø ª dC/, Œ• ¯ − √σ uα/2 < µ < X Pµ X ¯ + √σ uα/2 = 1 − α. n n ¯− Ïd X ¯ √σ uα/2 , X + √σ uα/2 •µ ˜&Xê1 − α ˜&«m. n n d ~Œ• E˜&«m Ú½Xe: 1. é– ëêµ ˜‡ûÐ: ¯ O. d~¥ù‡: O´T (X) = X. 2. E˜‡T (X) Úµ ¼êϕ(T, µ), ¦Ù÷v: (i) ÙLˆª†– ëêµ k'; (ii) ٩ن– ëêµ Ã'. √ ¯ − µ)/σ, § K¡‘ÅCþϕ(T, µ) •Í¶Cþ. ~¥ù˜Cþ=•U = n(X Lˆª†µ k ', Ù©ÙN (0, 1) †µ Ã'. ÏdU •Í¶Cþ. 3. 鉽 0 < α < 1, û½ü‡~êa Úb, ¦ Pµ (a ≤ ϕ(T, µ) ≤ b) = 1 − α. ))Ò¥ Ø ª ˆU (X) , Kk ˆL (X) ≤ µ ≤ µ µ µL (X) ≤ µ ≤ µ Pµ (ˆ ˆU (X)) = 1 − α. ùL² µ ˆU (X) ´µ ˆL (X), µ ˜&Y²•1 − α ˜&«m. ~4.2.1¥ µ ¯ − σuα/2 /√n, X ˜&«m X ¯ + σuα/2 /√n Ò´ÏLþãn‡Ú½¼ . Ù¥•'… Ú½´1 Ú, = EͶCþϕ(T, µ), ù‡Cþ˜½Úµ ˜‡ûÐ : Ok '.ù« E˜&«m •{¡•Í¶Cþ{. !ü‡ oNëê ˜&«m ©ÙN (µ, σ 2 ) ´~^ ©Ù. Ϧ§ ü‡ëêµ Úσ 2 ˜&«m´¢S¥~‘ ¯K, e¡ò©A«œ¹©O\±?Ø. ùpob X = (X1 , · · · , Xn ) ´l oNN (µ, σ 2 ) Ä {ü‘Å . P n n ¯= 1 X Xi , S2 = 1 ¯ 2, (Xi − X) n i=1 n−1 i=1 ¯ ÚS 2 ©O• =X þŠÚ • . 5

6. 1. σ 2 ®•, ¦µ ˜&«m ùÒ´~4.2.1?ØL ¯K. µ ˜&Xê•1 − α ˜&«m• ¯ − √σ uα/2 , X X ¯ + √σ uα/2 . (2.1) n n √ «m •Ý•ln = 2σuα/2 / n. ddŒ±wÑ (1) Nþn Œ,T«m á,°(ÝÒ p. (2) σ Œ, Kln Œ, °(Ý $. ù´Ï•• Œ, ‘ÅK••Ò Œ, °(ÝÒ¬$ e5. (3)˜&Xê1 − α Œ, Kα ,l uα/2 Ò Œ,ln •,°(ÝÒ $. ddŒ„3σ Úα ½ œ/e, ‡Jp°(Ý, •kO\ Nþ. ~X, ˜&Xê1 − α 2 ½, ‡¦þã˜&«m •Ýln ≤ l0 , l0 •‰½ ~ê, Kn ≥ 2σuα/2 /l0 , Ù¥[x] L«¢ êx êÜ©. ~2 ,•m) "‡ •ÝX ∼ N (µ, 0.09), e ˜| * Š• 12.6, 13.4, 12.8, 13.2 ¦"‡²þ•Ýµ 95% ˜&«m. ¯ = 13, n = 4, σ = 0.3 , √ ) d * ŠŽ X L¦ u0.025 = 1.96, σuα/2 / n = 0.3 × 1.96/2 = 0.294, dúª(2.1)Œ•µ 95% ˜&«m σ σ ¯ − √ uα/2 , x x ¯ + √ uα/2 = [12.71, 13.29]. n n 2. σ 2 ™•, ¦µ ˜&«m 3ù«œ¹e, µ ûÐ : OE•X,¯ ÄuX ¯ EͶCþ √ ¯ n(X − µ) T = . S díØ2.4.2Œ•T ∼ tn−1 . Œ„T Lˆª†µ k', ٩نµ Ã'. T •Í¶Cþ. d ut ©Ù'u :é¡, - √ ¯ − µ) n(X Pµ (|T | ≤ c) = P −c≤ ≤c = 1 − α, S Kc = tn−1 (α/2). ò)Ò¥ Ø ª²L dC/ µ ˜&Xê•1 − α ˜&«m• ¯ − √S tn−1 (α/2), X X ¯ + √S tn−1 (α/2) , (2.2) n n d?tn−1 (α/2) ´gdÝn − 1 t ©Ù þýα/2 © ê. ~3 •ÿ ,«M—¥ ` ßÝ, 4‡Õáÿ½Š ¯ = 8.34%, ²þŠX I O S = 0.03% , ¿ ÿoNCqÑl ©Ù, ¦oNþŠµ 95% ˜&«m. 6

7. √ ) Ï•1−α = 0.95, n = 4, L tn−1 (α/2) = t3 (0.025) = 3.182, kStn−1 (α/2)/ n = ¯ = 8.34, dúª(2.2)Œ•µ ˜&Xê•95% ˜&«m• 0.03 × 3.182/2 = 0.0477, X ¯ − √S tn−1 (α/2), X X ¯ + √S tn−1 (α/2) = [8.292%, 8.388%]. n n 3. µ ®•, ¦σ 2 ˜&«m 1 n µ ®•ž, σ 2 ˜‡ûÐ Ã O•Sn2 = n i=1 (Xi − µ)2 , …nS 2 /σ 2 ∼ χ2n . K T = nSn2 /σ 2 •Í¶Cþ, ÙLˆª†σ 2 k', ٩نσ Ã', éc1 Úc2 ¦ 2 Pσ2 c1 ≤ nSn2 σ 2 ≤ c2 = 1 − α. ÷vþª‡¦ c1 Úc2 káõé, Ù¥k˜éc1 Úc2 , ¦«m •Ý•á, ù ˜éc1 Úc2 Ø´¦ , …LˆªE,, A^Ø•B. ˜„-c1 Úc2 ÷ve ‡¦ Pσ2 nSn2 σ 2 < c1 = α/2, Pσ2 nSn2 σ 2 > c2 = α/2. dχ2 ©Ù þý© êLŒ•c1 = χ2n (1 − α/2), c2 = χ2n (α/2), =k Pσ2 χ2n (1 − α/2) ≤ nSn2 σ 2 ≤ χ2n (α/2) = 1 − α. • |^Ø ª dC/, σ2 ˜&Xê•1 − α ˜&«m• n 2 n 2 nSn2 nSn2 i=1 (Xi − µ) i=1 (Xi − µ) , = , , (2.3) χ2n α/2 χ2n 1 − α/2 χ2n (α/2) χ2n (1 − α/2) d?χ2n (α/2) Úχ2n (1 − α/2) ©O´gdÝ•n χ2 ©Ù þýα/2 Ú1 − α/2 © ê. ~4 • )˜ ÿþ•Ý ¤ì °Ý, 阊•30 mm IO7á•?1 6gÿþ, (J(ü :mm)´ 30.1, 29.9, 29.8, 30.3, 30.2, 29.6 bXÿþŠÑl ©ÙN (30, σ 2 ), ‡¦σ 2 ˜&Y²•0.95 ˜&«m. 6 ) d?n = 6, µ = 30,´ Ñ i=1 (Xi − µ)2 = 0.35, α = 0.05, L χ26 (0.025) = 14.4494, χ26 (0.975) = 1.2375, dúª(2.3)ŒŽ n σL2 = (Xi − µ)2 χ2n (α/2) = 0.35/14.4494 = 0.0242, i=1 n σU2 = (Xi − µ)2 χ2n (1 − α/2) = 0.35/1.2375 = 0.2828. i=1 Ïdσ 2 ˜&Y²•95% ˜&«m• σL2 , σU2 = [0.0242, 0.2828]. 4. µ ™•, ¦σ 2 ˜&«m 1 n ¯ 2 ´σ 2 Pθ = (µ, σ 2 ). džS 2 = n−1 i=1 (Xi − X) ûÐ O, §´Ã . …d½ n2.2.3Œ•(n − 1)S /σ ∼ 2 2 χ2n−1 . T = (n − 1)S /σ •Í¶Cþ, ÙLˆª†σ k', 2 2 2 Ù ©Ù†σ Ã'. éd1 Úd2 , ¦ 2 Pθ d1 ≤ (n − 1)S 2 σ 2 ≤ d2 = 1 − α. 7

8.aqu3¥(½c1 Úc2 ndÚ•{, d1 = χ2n−1 (1 − α/2), d2 = χ2n−1 (α/2), k Pθ χ2n−1 (1 − α/2) ≤ (n − 1)S 2 σ 2 ≤ χ2n−1 (α/2) = 1 − α. • 2|^Ø ª dC/, Ñσ 2 ˜&Xê•1 − α ˜&«m• n ¯ 2 n ¯ 2 (n − 1)S 2 (n − 1)S 2 i=1 (Xi − X) i=1 (Xi − X) , = 2 , 2 . (2.4) χ2n (α/2) χ2n (1 − α/2) χn−1 (α/2) χn−1 (1 − α/2) erù‡‘Å«m ü‡à:m²•§ σ ˜&Xê•1 − α ˜&«mXeµ n 1/2 n 1/2 ¯ 2 χ2n−1 (α/2) (Xi − X) , ¯ 2 χ2n−1 (1 − α/2) (Xi − X) . i=1 i=1 ~5 ¦~3¥oN• σ 2 9σ ˜&Xê•95% ˜&«m. ) XÓ~3, n−1 = 3, α/2 = 0.025, 1−α = 0.975. L¦ χ23 (0.025) = 9.348, χ23 (0.975) = 0.216, S 2 = 0.0009,dúª(2.4)Œ•σ 2 ˜&Xê•95% ˜&«m• (n − 1)S 2 χ2n (α/2), (n − 1)S 2 χ2n (1 − α/2) = [0.00029, 0.0125], σ ˜&Xê•95% ˜&«m• 1/2 1/2 (n − 1)S 2 χ2n−1 (α/2) , (n − 1)S 2 χ2n−1 (1 − α/2) = [0.017, 0.112]. 5. ‘ëêθ = (µ, σ 2 ) ˜&Y²•1 − α ˜&• 3 ¯ ÚS 2 ©O•µ Úσ 2 ©Ùœ¹e, X à O, …•¿©ÚOþ, §‚ƒm„ƒp Õá. ͶCþ• √ ¯ − µ)/σ ∼ N (0, 1), n(X (n − 1)S 2 /σ 2 ∼ χ2n−1 . 鉽 ˜&Y²1 − α, Œ±ÏLIO ©ÙÚgdÝ•n − 1 χ2 ©ÙéÑn‡ê: c, d1 Úd2 , ¦ √ √ Pθ | n(X¯ − µ)| σ ≤ c = 1 − α, √ Pθ d1 ≤ (n − 1)S 2 σ 2 ≤ d2 = 1 − α. √ ¯ ÚS 2 Õá, k - 1 − α = 1 − γ, K c = uγ/2 , d1 = χ2n−1 (1 − γ/2), d2 = χ2n−1 (γ/2). duX ¯ − µ)2 ≤ σ 2 u2 (n − 1)S 2 2 (n − 1)S 2 P (X γ/2 n, ≤ σ ≤ = 1 − α. χ2n−1 (γ/2) χ2n−1 (1 − γ/2) ¤±θ = (µ, σ 2 ) ˜&Y²•1 − α ˜&•• ¯ − µ)2 ≤ σ 2 u2 (n − 1)S 2 (n − 1)S 2 (µ, σ 2 ) : (X γ/2 n, 2 ≤ σ2 ≤ 2 . χn−1 (γ/2) χn−1 (1 − γ/2) 8

9.n!ü‡ oNëê ˜&«m X1 , · · · , Xm ´ g o NN (a, σ12 ) Ä {ü‘Å , Y1 , · · · , Yn ´ g o NN (b, σ22 ) Ä {ü‘Å , …Ü Õá. ¯ ¯ X, Y ÚSX , SY ©O•ùü| 2 2 1 m ¯ 1 n ¯ 2 þŠÚ • , Ù¥S1 = m−1 i=1 (Xi − X) , S2 = n−1 2 2 2 i=1 (Yi − Y ) . e¡©ü«œ¹ ?Øü‡ oNþŠ Ú• ' ˜&«m¯K. 1. þŠ b − a ˜&«m ©e A«œ¹: (1) m = n ž, -Zi = Yi − Xi , i = 1, 2, · · · , n, …P˜ ˜ 2 = σ12 + σ22 , Kk µ = b − a, σ Zi ∼ N (˜ ˜ 2 ), µ, σ i = 1, 2, · · · , n. ùÒ=z•ü‡ oN ˜ 2 ™•, ¦ÙþŠ˜ σ µ ˜&«m¯K. w„Z¯ = Y¯ − X ¯ ´˜ µ ˜‡ ûÐ Ã O, ͶCþ √ TZ = n(Z¯ − µ ˜) SZ ∼ tn−1 , 1 n ¯ 2, T d?S 2Z = n−1 i=1 (Zi − Z) Z Lˆª†˜ µ = b − a k', ٩ن˜ µ Ã', Ïd TZ • ͶCþ. dc¡®?ØL œ/ (J, Œ•˜ µ=b−a ˜&Xê•1 − α ˜&«m• S S Z¯ − √Z tn−1 (α/2), Z¯ + √Z tn−1 (α/2) . (2.5) n n (2) σ12 Úσ22 ®•ž, ·‚• Y¯ − X ¯ •b − a ˜‡ûÐ Ã O, ͶCþ Y¯ − X ¯ − (b − a) TU = ∼ N (0, 1), σ12 /m + σ22 /n k Y¯ − X ¯ − (b − a) Pa,b ≤ uα/2 = 1 − α. σ12 /m + σ22 /n 2^Ø ª dC/ b−a ˜&Xê•1 − α ˜&«m• Y¯ − X ¯ − uα/2 σ12 /m + σ22 /n, Y¯ − X ¯ + uα/2 σ12 /m + σ22 /n . (2.6) (3) σ12 = σ22 = σ 2 ™•ž, - 1 Sω2 = (m − 1)S12 + (n − 1)S22 m+n−2 m n 1 ¯ 2+ = (Xi − X) (Yi − Y¯ )2 , m+n−2 i=1 i=1 w,Y¯ − X ¯ ´b − a à O, díØ2.4.3Œ•Í¶Cþ Y¯ − X ¯ − (b − a) mn T = ∼ tn+m−2 , Sω m+n 9

10.§ Lˆª†b − a k', ٩نb − a Ã', T •Í¶Cþ. k Y¯ − X ¯ − (b − a) mn P ≤ tm+n−2 (α/2) = 1 − α, Sω m+n dØ ª dC/, Œ b−a ˜&Xê•1 − α ˜&«m• ¯ − Sω tm+n−2 α Y¯ − X 1 1 ¯ + Sω tm+n−2 α + , Y¯ − X 1 + 1 , (2.7) 2 m n 2 m n Ù¥tm+n−2 (α/2) •gdÝm + n − 2 t©Ù þýα/2 © ê. (4) σ22 /σ12 = λ, λ ®•ž, Äub − a à OY¯ − X ¯ ͶCþ9٩ٕ mn(m + n − 2) Y¯ − X ¯ − (b − a) T = · ∼ tn+m−2 , mλ + n Q21 + Q22 /λ m ¯ 2 , Q2 = (n − 1)S 2 = n d?Q21 = (m − 1)S12 = i=1 (Xi − X) 2 2 i=1 (Yi − Y¯ )2 . k mn(m + n − 2) Y¯ − X ¯ − (b − a) P · ≤ tm+n−2 (α/2) = 1 − α. mλ + n Q21 + Q22 /λ dØ ª dC/, b−a ˜&Xê1 − α ˜&«m• mλ + n Y¯ − X ¯ − tm+n−2 (α/2) · Q21 + Q22 /λ, mn(m + n − 2) mλ + n Y¯ − X ¯ + tm+n−2 (α/2) · Q21 + Q22 /λ . mn(m + n − 2) (5) σ12 = σ22 … ™•ž, ‡¦b − a ˜&«m¯K. ù´Í¶ Behrens-Fisher ¯K. §´Behrens 31929cl¢SA^JÑ ¯K, § A«AÏœ¹Xþ¤ã, ®¼ ÷)û, ˜„œ¹–8„k©z3?Ø. FisherÄkïÄ ù‡¯K, ¿é˜„œ¹‰ÑCq){. ‘ NõͶÚOÆ[, XScheffe ÚWelch •ïÄLù‡¯K. –8„ ØÑ{ü!°( ){. •Jј Cq ){. e¡‰Ñü«Cq(J. (i) m †n Ñ¿©ŒžŒ^Œ •{, du Y¯ − X ¯ − (b − a) ∼ N (0, 1), (2.8) σ12 /m + σ22 /n P P …S12 −→ σ12 , S22 −→ σ22 , ò(2.8)¥ σ12 Úσ22 ©O^S12 ÚS22 “\, Y¯ − X ¯ − (b − a) L −→ N (0, 1). S12 /m + S22 /n Ïd, m, n ¿©Œžb − a ˜&XêCq•1 − α ˜&«m´ Y¯ − X ¯ − uα/2 S12 /m + S22 /n, Y¯ − X ¯ + uα/2 S12 /m + S22 /n . (2.9) (ii) ˜„œ/, =m Ún ÑØ´¿©Œ œ/. - S∗2 = S12 /m + S22 /n. 10

11. ͶCþ• Y¯ − X ¯ − (b − a) T = . S∗ 3˜„œ¹e, T ®ØÑlt ©Ù. †äk· gdÝr t ©Ùé C. Ù¥r de úª( ½ S14 S24 r = S∗4 + . m2 (m − 1) n2 (n − 1) r ˜„Ø• ê, Œ †ƒ•C ê“O. u´,·‚Cq/k Y¯ − X ¯ − (b − a) T = ∼ tr . S∗ $^†c¡aqÚ½Œ b − a ˜&XêCq•1 − α ˜&«m• Y¯ − X ¯ − S∗ · tr (α/2), Y¯ − X ¯ + S∗ · tr (α/2) . (2.10) ù´dWelch 31938c‰Ñ Behrens-Fisher ¯K ˜‡Cq){. ~6 ,úi|^ü^gÄz6Y‚/C¶ Y. yl) ‚þÄ X1 , · · · , X12 ÚY1 , · · · , Y17 , §‚´z´¶ Y NÈ(Î,). Ž ¯ ¯ þŠX = 501.1 ÚY = 499.7 ; • S12 = 2.4, S22 = 4.7. b ùü^6Y‚¤C ¶ Y NÈ©OÑl ©ÙN (a, σ 2 ) ÚN (b, σ 2 ), ‰½˜&Xê0.95 , Á¦b − a ˜&«m. (m−1)S12 +(n−1)S22 ) Y¯ − X ¯ = −1.4, Sω2 = n+m−2 = 11×2.4+16×4.7 12+17−2 = 3.763, u´Sω = 1.94, L ¦ tm+n−2 (α/2) = t27 (0.025) = 2.05, Ž 1 1 1 1 Sω tm+n−2 (α/2) + = 1.94 × 2.05 + = 1.50. n m 12 17 Ïdb − a 95% ˜&«mUúª(2.7)Ž [-2.9, 0.1]. ~7 –' `! ¯ü«™s¬« ` . yb ^§‚—Ñ ™ãrÝÑlN (a, σ12 ) ÚN (b, σ22 ), σ12 = σ22 . Á ölùü1™ã¥©OÄ X1 , · · · , X120 ÚY1 , · · · , Y60 , ÙþŠ ©O•X ¯ = 3.32, Y¯ = 3.76, S = 2.18, S = 5.76 . Á‰Ña − b 95% ˜&«m. 2 2 1 2 ) duσ12 = σ22 , ù´Behrens-Fisher ¯K, ^Œ Cq•{¦˜&«m. dêâ Ž ¯ − Y¯ = −0.44, S 2 /m + S 2 /n = 2.18/120 + 5.76/60 = 0.338 , L¦ u0.025 = 1.96, X 1 2 Ž uα/2 S12 /m + S22 /n = 1.96 × 0.338 = 0.662, Uúª(2.9)Œ a − b ˜&XêCq•0.05 ˜&«m•[−1.102, 0.222]. 2. • 'σ12 /σ22 ˜&«m 1 m 1 n (i)ea Úb ® •, PS12 = m i=1 (Xi − a)2 , S22 = n i=1 (Yi − a)2 , w „mS12 σ12 ∼ χ2m , nS22 σ22 ∼ χ2n , …S12 •σ12 à O, S22 •σ22 à O, ͶCþŒ • S12 /σ12 S12 σ22 F = = · ∼ Fm,n . S22 /σ22 S22 σ12 11

12.F Lˆª†σ12 /σ22 Ã'.éc1 Úc2 , ¦ S12 σ22 P c1 ≤ · ≤ c2 = 1 − α. S22 σ12 ÷vþ㇦ c1 Úc2 káõé, Ù¥•3˜é¦«m•Ý•á, ù ˜éc1 Úc2 Ø Ø ´¦ , …LˆªE,, A^å5Ø•B. e •{(½ c1 Úc2 •,ØU¦˜&«m °Ý •p, c1 Úc2 N´¦ , …Lˆª{ü, ¦^•B. =- S12 σ22 S12 σ22 P · < c1 = α/2, P · > c2 = α/2, S22 σ12 S22 σ12 gdÝ•m, n F ©Ùþý© êL´ c2 = Fm,n (α/2), c1 = Fm,n (1 − α/2), Ïdk S12 σ22 P Fm,n (1 − α/2) ≤ · ≤ Fm,n (α/2) = 1 − α. S22 σ12 2|^Ø ª dC/, σ12 /σ22 ˜&Xê•1 − α ˜&«m• S12 1 S2 1 2 · , 12 · . (2.11) S2 Fm,n (α/2) S2 Fm,n (1 − α/2) 5¿ duα , Fm,n (1 − α/2) 3F ©ÙLþ Ø , |^F ©Ù Xe5Ÿ Fm,n (1 − α/2) = 1 Fn,m (α/2), Œ±òÙÏL Fn,m (α/2) Ž . (ii)ea Úb ™•, w,(m − 1)S12 σ12 ∼ χ2m−1 , (n − 1)S22 σ22 ∼ χ2n−1 , …SX 2 ÚS22 ©O•σ12 Úσ22 à O, díØ2.4.4Œ•Í¶Cþ9٩ٕ S12 /σ12 S12 σ22 F = = · ∼ Fm−1,n−1 . S22 /σ22 S22 σ12 F Lˆª†σ12 /σ22 Ã'. éd1 Úd2 , ¦ S12 σ22 P d1 ≤ · ≤ d2 = 1 − α. S22 σ12 aqu(i)¥(½c1 Úc2 ndÚ•{, d1 = Fm−1,n−1 (1 − α/2), d2 = Fm−1,n−1 (α/2), k S12 σ22 P Fm−1,n−1 (1 − α/2) ≤ · ≤ Fm−1,n−1 (α/2) = 1 − α. S22 σ12 • |^Ø ª dC/, σ12 /σ22 ˜&Xê•1 − α ˜&«m• S12 1 S2 1 2 · , 12 · . (2.12) S2 Fm−1,n−1 (α/2) S2 Fm−1,n−1 (1 − α/2) du α ž(Xα = 0.01, α = 0.05), Fm−1,n−1 (1 − α/2) 3F ©ÙL¥Ã{ , |^F © Ù Xe5Ÿ(1 Ù¥ ˜‡SK) Fm−1,n−1 (1 − α/2) = 1 Fn−1,m−1 (α/2), 12

13.ŒÏL Fn−1,m−1 (α/2)òÙŽ . ~8 ¦~7¥• 'σ12 /σ22 ˜&Xê•90% ˜&«m. ) S12 /S22 = 2.18/5.76 = 0.378, L¦ Fm−1,n−1 (α/2) = F119,59 (0.05) = 1.47, Fm−1,n−1 (1− α/2) = 1 Fn−1,m−1 (α/2) = 1 F59,119 (0.05) = 1/1.43, d ú ª(2.12) σ12 /σ22 ˜&Xê •90% ˜&«m• S12 1 S12 · , · Fn−1,m−1 (α/2) = [0.257, 0.541]. S22 Fm−1,n−1 (α/2) S22 3 ͶCþ{—š oNëê ˜&«m |^ͶCþ{ E˜&«m •{, 3þ˜!®0 , !ò^ù˜•{?ØA‡š oNëê ˜&«m ¯K. eͶCþ °(©ÙN´¦ , Œ^ •{¼ °( ˜& «m; eͶCþ °(©ÙØ´¦ , ½eÙ°(©Ù•Œ±¦ , LˆªéE,, ¦^Ø• B, KŒ^ͶCþ 4•©Ù, 5 Ek'ëê Cq ˜&«m. ˜! •{ 1. •ê©Ùëê ˜&«m X1 , · · · , Xn • l • ê © ÙEP (λ)¥ Ä {ü‘Å , Ù — Ý ¼ ê •f (x, λ) = −λx λe I[x>0] , λ > 0, ‡¦λ ˜&Xê•1 − α ˜&«m. ¯ = 1 n ¯ Ï•X n i=1 Xi ´1/λ ˜‡Ã O(…´UMVUE), Žλ ˜&«mŒÏLX L«. ͶCþŒ ¯ díØ2.4.5Œ• 2λnX, n ¯ = 2λ 2λnX Xi ∼ χ22n . (3.1) i=1 (½a, b ¦ ¯ ≤ b) = 1 − α. P (a ≤ 2λnX ¦þª¤á a, b kéõé, Ù¥•3˜é, ¦˜&«m •Ý•á, @éa, b LˆªE,, Ø ´¦ , A^þ•Ø•B. Ï~æ^e •{, - ¯ < a) = α/2, P 2λnX ¯ > b = α/2. P (2λnX d(3.1)Œ•,a = χ22n (1 − α/2), b = χ22n (α/2), ù é a, b •ØU¦˜&«m °(Ý•p, Lˆª{ü, ŒÏL χ ©Ù þýα © êL¦ , A^þé•B. Ïdk 2 ¯ ≤ χ2 (α/2) = 1 − α. P χ22n (1 − α/2) ≤ 2λnX 2n |^Ø ª dC/, Œ λ ˜&Xê•1 − α ˜&«m• ¯ χ22n (α/2) 2nX χ22n (1 − α/2) 2nX, ¯ . (3.2) 13

14.ÓnŒ¦ λ ˜&Xê•1 − α ˜&e!þ•©O•: ¯ Ú χ22n (α) 2nX. χ22n (1 − α) 2nX, ¯ (3.3) ~9 ,>f ¬ Æ·Ñl•ê©ÙEP (λ), yld©Ù ˜1 ¬¥Ä Nþ•9 , ÿ Æ·•(ü : Z ž) 15, 45, 50, 53, 60, 65, 70, 83, 90 ¦²þÆ·1/λ ˜&Xê•90% ˜&«mÚ˜&þ!e•. ) n = 9,d ¯ = 59, 2nX Ž µX ¯ = 1062. L¦ : χ218 (0.05) = 28.869, χ218 (0.95) = 9.390, χ218 (0.10) = 25.989, χ218 (0.90) = 10.865, Kg(λ) = 1/λ ˜&Xê•90% ˜&«mdeª(½ ¯ ≤ χ218 (0.05) = 0.90 . Pλ χ218 (0.95) ≤ 2nλX ))ÒSØ ª g(λ) = 1/λ 90% ˜&«m• ¯ χ2 (0.05), 2nX 2nX ¯ χ2 (0.95) = [36.787, 113.099]. 18 18 aq•{¦ g(λ) = 1/λ ˜&Xê•90% ˜&þ!e•ˆ gU Úˆ gL ©O• ¯ χ218 (0.90) = 97.745(Z gˆU = 2nX ž), ¯ χ218 (0.10) = 40.863(Z ž). gˆL = 2nX 2. þ!©Ùëê ˜&«m X = (X1 , · · · , Xn ) •gþ!©ÙoNU (0, θ) ¥Ä {ü‘Å , ¦θ ˜&Xê •1 − α ˜&«m. T (X) = X(n) = max{X1 , · · · , Xn }, T (X) •¿©ÚOþ,Œ• n+1 n T ´θ à O(• ´UMVUE ). ŽÍ¶Cþ˜½†T k'. duXi /θ ∼ U (0, 1), i = 1, 2, · · · , n, T /θ•Í¶ Cþ§ÙLˆª†θk', ٩نθ Ã', Ù—Ý¼ê• T /θ ∼ f (t) = ntn−1 I[0<t<1] . (3.4) (½c1 , c2 , 0 < c1 < c2 ≤ 1 ¦ Pθ (c1 < T /θ < c2 ) = P T c2 < θ < T c1 c2 = ntn−1 dt = cn2 − cn1 = 1 − α, (3.5) c1 u´ T c2 , T c1 •θ ˜&Xê•1−α ˜&«m.‡30 < c1 < c2 ≤ 1 ‰ŒS c1 , c2 ,¦(3.5)¤ √ ᧿¦ c11 − 1 c2 ¦ŒU (±¦˜&«m•á). ØJy²:ù‡¦c2 = 1, c1 = n α. Ïdθ ˜ &Xê•1 − α ˜&«m• √ n T c2 , T c1 = T, T α . 14

15. !Œ •{ 1. Cauchy©Ù ˜ëê ˜&«m X1 , · · · , Xn •lCauchy ©ÙoN¥Ä {ü‘Å , Cauchy ©Ùk—ݼê 1 f (x, θ) = , −∞ < x < +∞, −∞ < θ < +∞, π[1 + (x − θ)2 ] ‡¦ ˜ëêθ ˜&«m. ±mn PX1 , · · · , Xn ¥ ê, θ ´oN ¥ ê, Ïdmn Š•θ : O´Ü· . duCauchy ©Ù'uθ é¡, mn − θ ©Ù†lθ = 0 Cauchy ©Ù¥Ä Œ •n ¥ ê ©ÙƒÓ. Ïdmn − θ ©Ù†θ Ã', ŒŠ•Í¶Cþ, ٩ٗÝP•fn (x). n •Ûêžfn (x) Lˆª|^úª(??)Œ† Ñ5. n •óꞇE, , Kþ¦ ÙLˆª¿Ã(J. é fn (x) , ‡(½c, ¦ c Pθ (|mn − θ| ≤ c) = fn (x)dx = 1 − α, (3.6) −c dd Ñθ ˜&Xê•1 − α ˜&«m•[mn − c, mn + c]. ´, Ï •fn (x) L ˆ ª é E ,, ‡ d(3.6)û ½c Ø N ´. Š â(??)ª, ¿ 5 ¿ f (ξ1/2 ) = 1/π, Œ• n → ∞ žk √ L n(mn − θ) −→ N (0, π 2 /4), (3.7) √ L ½=2 n(mn − θ)/π −→ N (0, 1), Ïdk √ P 2 n|mn − θ| π ≤ uα/2 ≈ 1 − α, d?uα/2 ´IO ©Ù þýα/2 © ê. |^Ø ª dC/Œ•, n ¿©Œžθ ˜ &XêCq•1 − α ˜&«m• π π mn − √ uα/2 , mn + √ uα/2 . 2 n 2 n 2. ‘©ÙoNëê ˜&«m X = (X1 , · · · , Xn ) •gü:©Ùb(1, p) ¥Ä {ü‘Å , ‡¦p ˜&«m. n -Sn = i=1 Xi , Œ•Sn ∼ b(n, p) , = ‘©Ù. n ¿©Œž, |^¥%4•½n, k Sn − np L −→ N (0, 1), n → ∞ž. (3.8) np(1 − p) ùL² n ¿©Œž, ‘ÅCþT = (Sn − np) np(1 − p) ìC©Ù´N (0, 1), †™•ëêp Ã'. ·‚ ù T •Í¶Cþ. Ïdn ¿©Œžk Sn − np P (|T | ≤ uα/2 ) = P ≤ uα/2 ≈ 1 − α. (3.9) np(1 − p) 15

16.y3‡rØ ª|T | ≤ uα/2 U ¤c1 ≤ p ≤ c2 /G, c1 = c1 (x), c2 = c2 (x) †p Ã'. eU ù c1 , c2 , Kd(3.9) k p(c1 (x) ≤ p ≤ c2 (x)) = P (|T | ≤ uα/2 ) ≈ 1 − α. (3.10) [c1 (x), c2 (x)] ŒŠ•p ˜&XêCq•1 − α ˜&«m. Pˆ p = Sn /n, λ = uα/2 (3.9)ª) Ò¥Ø ª du p − p)2 ≤ λ2 p(1 − p)/n, (ˆ òØ ªü>Ðm, nÜ¿Óa‘, p gn‘ª p2 (n + λ) − p(2nˆ p + λ2 ) + nˆ p2 ≤ 0. þª†àp gn‘ªEOªŒu0, …²•‘Xê• , ÷vþãØ ª p 0uÙü‡ ؃ Šƒm, Pùü‡Š•c1 , c2 , c1 < c2 , §‚´ n λ2 pˆ(1 − pˆ) λ4 c1 , c2 = p ˆ + ±λ + 2 , c1 ƒAu“ − ”Ò. (3.11) n + λ2 2n n 4n Ïd[c1 (x), c2 (x)] Ò´p ˜&XêCq•1 − α ˜&«m. P 3¢^¥, Œæ^e •{ü •{: dˆ p = Sn /n −→ p (=•VÇÂñ p )9(3.8), Ïd k p(1 − p) P pˆ − p L −→ 1, −→ N (0, 1). pˆ(1 − pˆ) p(1 − p)/n òþãüª†Cƒ¦, Uì•©ÙÂñ 5Ÿ, k pˆ − p pˆ − p p(1 − p) L = · −→ N (0, 1), pˆ(1 − pˆ)/n p(1 − p)/n pˆ(1 − pˆ) = pˆ − p L −→ N (0, 1). (3.12) pˆ(1 − pˆ)/n ·‚Œ T = pˆ − p pˆ(1 − pˆ)/n Š•Í¶Cþ, Ù4•©Ù†p Ã'. - pˆ − p P ≤ uα/2 ≈ 1 − α. pˆ(1 − pˆ)/n |^Ø ª dC/, p ˜&XêCq•1 − α ˜&«m• pˆ − uα/2 · pˆ(1 − pˆ)/n, pˆ + uα/2 · pˆ(1 − pˆ)/n . (3.13) 3. Poisson ©Ùëê ˜&«m X = (X1 , · · · , Xn ) •ÄgPoisson oNP (λ) {ü‘Å , ‡¦λ ˜&«m. n PSn = i=1 Xi , KSn •Ñlëê•nλ Poisson ©Ù, = e−nλ (nλ)k P (Sn = k) = , k = 0, 1, 2, · · · . k! 16

17. n ¿©Œž, d¥%4•½nŒ• Sn − nλ L √ −→ N (0, 1), n → ∞ž, (3.14) nλ √ ò‘ÅCþT = (Sn − nλ) nλ Š•Í¶Cþ, Ù4•©Ù†™•ëêλ Ã'. - Sn − nλ P (|T | ≤ uα/2 ) = P √ ≤ uα/2 ≈ 1 − α. nλ •ìc˜ã •{ λ ˜&«m[d1 , d2 ],Ù¥d1 = d1 (x), d2 = d2 (x) • g•§ ˆ − λ)2 = λuα/2 n (λ ˆ = Sn /n. =k üŠ, d?λ u2α/2 ˆ λ ˆ + uα/2 /(2n) ± uα/2 d1 , d2 = λ + , d1 ƒAu“ − ”Ò. (3.15) 4n 2 n Ïdλ ˜&XêCq•1 − α ˜&«m•[d1 (x), d2 (x)]. ¢^þ, Œæ^e •{ü •{: aquþ˜ã¼ 4•©Ù(3.12), n, Œ• ˆ−λ ˆ L λ λ/n −→ N (0, 1). (3.16) ˆ−λ -T = λ ˆ •Í¶Cþ, Ù4•©Ù†™•ëêλ Ã'. ‰½˜&Xê1 − α, Kk λ/n P ˆ−λ λ ˆ ≤ uα/2 ≈ 1 − α. λ/n dØ ª dC/, λ ˜&XêCq•1 − α ˜&«m• ˆ − uα/2 λ ˆ λ/n, ˆ + uα/2 λ ˆ λ/n . 4. ˜„œ/ ^ìC©ÙϦ™•ëê C q ˜ & « m 3 é õ | Ü ´ ƒ ¢ Œ 1 . ~ X, 3§3.3 ¥, ·‚Q3˜„^‡ey² θ 4Œq, Oθˆ∗ = θˆ∗ (X1 , · · · , Xn ) kìC ©Ù: √ ˆ∗ L ˆ∗ n(θ − θ) −→ N (0, 1/I(θ)) , =θ ìCÑlN (θ, σ (θ)). d?σ (θ) = 1 [nI(θ)], Ù¥ 2 2 ∂ log f (x, θ) 2 I(θ) = Eθ ∂θ ´Fisher &Eþ, f (x, θ)´oN —ݼê. n錞, XJσ 2 (θˆ∗ ) •VÇÂñ σ 2 (θ), ·‚ ~^θˆ∗ “Oσ 2 (θ) ¥ θ, ddŒ θ ˜&XêCq•1 − α ˜&«m θˆ∗ − uα/2 · σ(θˆ∗ ), θˆ∗ + uα/2 · σ(θˆ∗ ) . d?uα/2 ´IO ©Ù þýα/2© ê. 5. šëêœ/ 17

18. ,oNkþŠθ, • σ 2 , θ Úσ 2 ™•. lù˜oN¥Ä {ü‘Å X1 , · · · , Xn , ‡ ¦θ ˜&«m. Ï•éoN©ÙvkŠ?Ûb½, ù´šëê. ©Ùx. ‡éÑ·Ü œ/ Ͷ √ ¯ L Cþ´ØŒU . ´, en ¿©Œ, Kd¥%4•½nŒ• n(X − θ)/σ −→ N (0, 1) . d √ ¯ ?σ ™•, EØU± n(X − θ)/σ Š•Í¶Cþ. Ï•n ¿©Œ, IO S ´σ ˜‡ƒÜ O, ŒCq/^S “Oσ, ^aq¼ 4•©Ù(3.12) •{, Œy √ L ¯ − θ)/S −→ N (0, 1). n(X √ ¯ − θ)/S Š•Í¶Cþ, § 4•©Ù†θ Ã', - džŒòT = n(X √ ¯ − θ)/S| ≤ uα/2 ) ≈ 1 − α, P (| n(X )þª)Ò¥ Ø ª, θ ˜&XêCq•1 − α ˜&«m• ¯ − √S uα/2 , X X ¯ + √S uα/2 . n n 18