02 统计学基础--抽样分布

1 . Lec2: Ä ©Ù Ü•² 2011 c 9 8F 1 oNe þŠÚ • ©Ù Õá ‘ÅCþ ‚5|ÜE,Ñl ©Ù: ½ n 1. ‘ÅCþX1 , · · · , Xn ƒpÕá, …Xk ∼ N (ak , σk2 ), k = 1, · · · , n. c1 , c2 , · · · , cn • n n n ~ê, PT = k=1 ck Xk , KT ∼ N (µ, τ 2 ),Ù¥µ = k=1 ck ak , τ2 = 2 2 k=1 ck σk . |^A ¼êy². |^õ ½Â,Œ±k ½ n 2. ‘Å•þX ∼ Np (µ, Σ), A•p × pŒ_Ý , -Y = AX, K Y ∼ N (Aµ, AΣA ) d ©Ù‘ÅCþ C†,Œ± # ©Ù‘ÅCþ: ½Â 1. X1 , X2 , · · · , Xn i.i.d. ∼ N (0, 1),K¡ n ξ= Xi2 i=1 ´gdÝ•n χ2 Cþ, ٩١•gdÝ•n χ2 ©Ù, P•ξ ∼ χ2n . ξ —Ý¼êgn (x)• 1 2n/2 Γ(n/2) xn/2−1 e−x/2 , x > 0, gn (x) = 0, x ≤ 0. ¦—Ý•{: A ¼ê{,8B{,n C†•{. 5Ÿ: n (1) r.v. ξ ∼ χ2n ,Kξ c.f.•ϕ(t) = (1 − 2it)− 2 ; (2) r.v. ξ êÆÏ"Ú• ©O•E(ξ) = n, D(ξ) = 2n. (3) Z1 ∼ χ2n1 , Z2 ∼ χ2n2 ,…Z1 ÚZ2 Õá, KZ1 + Z2 ∼ χ2n1 +n2 . í2: š¥%χ2 ©Ù 1 

2 .½  2. ‘ÅCþX1 , X2 , · · · , Xn ƒpÕá,Xi ∼ N (ai , 1), ai (i = 1, · · · , n)Ø •0. PY = n n Xi2 , K¡Y ©Ù•gdÝn š¥%ëê•δ = a2i š¥% χ2 ©Ù , P•Y ∼ χ2n,δ . i=1 i=1 AO δ = 0ž¡•¥% χ2 ©Ù, =c¡¤ãχ2n ©Ù. eY ∼ χ2n,δ ,KÙ—Ý¼ê•  ∞  e−δ2 /2 1 δ2 i xi+n/2−1 −x/2 i! ( 2 ) 2i+n/2 Γ(n/2+i) e , x > 0, g(x) = i=0 0, x≤0   2 ∞ 2 i  e−δ /2 (δ /2) i! χ2 (x, 2i + n), x > 0, = i=0 (1.1) 0, x ≤ 0.  d?χ2 (x, 2i + n)L«gdÝ•2i + n χ2 —ݼê. š¥%χ2 —Ý OŽ•{: 1 n -Ý A• Ý ,Ù1˜1 ƒ•(a1 /δ, · · · , an /δ). l eY = AX,KY1 = δ i=1 ai Xi ∼ N (δ, 1). š¥% χ2 Cþäke 5Ÿµ n iδ 2 t (1) eY ∼ χ2n,δ ,KY c.f.•ϕ(t) = (1 − 2it)− 2 e 1−2it , (2) eY ∼ χ2n,δ ,KE(Y ) = n + δ 2 , D(Y ) = 2n + δ 2 , k k (3) eY1 , · · · , Yk ƒ p Õ á, Yi ∼ χ2ni ,δi , i = 1, 2, · · · , k,K Yi ∼ χ2n,δ ,d ?n = ni , i=1 i=1 δ= δ12 + δ22 + · · · + δk2 . d ©ÙÚχ2 ©ÙŒ± E˜‡t©Ù‘ÅCþ: ½  3. r.v. X ∼ N (0, 1), Y ∼ χ2n , …XÚY Õá, K¡ X T = Y /n •gd•n tCþ, ٩١•d•n t©Ù,P•T ∼ tn . Ù—Ý¼ê• − n+1 Γ( n+12 ) x2 2 tn (x) = √ 1+ , −∞ < x < ∞. (1.2) Γ( n2 ) nπ n tCþäke 5Ÿµ (1)er.v. T ∼ tn ,KE(T r )•k r < n (n > 1)ž•3, …   n r2 Γ( r+1 n−r 2 )Γ( 2 ) , r•óê, r Γ( n )Γ( 1 2) E(T ) = 2  0, r•Ûê. n AO n ≥ 2ž, E(T ) = 0. n ≥ 3ž, D(T ) = n−2 . (2) n = 1žt©ÙÒ´…Ü©Ù, dž(1.2)C• 1 t1 (x) = , −∞ < x < +∞. π(1 + x2 ) (3) n → ∞ž, tCþ 4•©Ù•N (0, 1). š¥%t©Ù: 2 

3 .½  4. r.v. X ∼ N (δ, 1), Y ∼ χ2n , …XÚY Õá, K¡ X Z= Y /n ©ÙÑlgdÝ•n,š¥%ëê•δ š¥% t©Ù, P•Z ∼ tn,δ . AO t = 0ž ©Ù¡• ¥% t©Ù,=c¡¤ã tn ©Ù. Ù—Ý¼ê• 2 ∞ nn/2 e−δ /2 n+i+1 (δx)i 2 i/2 tn,δ (x) = √ · Γ , πΓ(n/2) (n + x2 ) n+1 2 i=0 2 i! n + x2 −∞ < x < ∞. (1.3) —ݼê(1.3) í •{•´|^¦r.v.û —ݼêúª,²L E, OŽŒ¦ . š¥% t©Ù 5ŸXe: L (1) eZn ∼ tn,δ , KZn −→ N (δ, 1); (2) eZn ∼ tn,δ ,Kk n 1 2 Γ( n−1 2 ) E(Zn ) = δ , n ≥ 2; 2 Γ( n2 ) n(1 + δ 2 ) δ 2 n Γ( n−1 2 ) 2 D(Zn ) = − n , n ≥ 3. n−2 2 Γ( 2 ) χ2 ©Ù‘ÅCþ„Œ± EF ©Ù‘ÅCþ: ½  5. r.v. X ∼ χ2m , Y ∼ χ2n ,…XÚY Õá,K¡ X/m F = Y /n •gdÝ©O´mÚn F Cþ§Ù©Ù¡•dÝ©O´mÚn F ©Ù, P•F ∼ Fm,n . Ù—Ý¼ê•  Γ( m+n 2 ) m n m −1 m+n  Γ( n m m 2 n2 x 2 (n + mx)− 2 , x > 0, fm,n (x) = 2 )Γ( 2 ) (1.4) 0, Ù§. F Cþäke 5Ÿµ (1) eZ ∼ Fm,n ,K1/Z ∼ Fn,m . (2) eZ ∼ Fm,n ,Kér > 0k n r Γ( m n 2 + r)Γ( 2 − r) E(X r ) = n m , 2r < n. m Γ( 2 )Γ( 2 ) AO n E(X) = , n > 2. n−2 3 

4 . 2n2 (m + n − 2) D(X) = , n > 4. m(n − 2)(n − 4) (3) eT ∼ tn ,KT 2 ∼ F1,n (4) Fm,n (1 − α) = 1/Fn,m(α) š¥%F ©Ù ½  6. r.v. X ∼ χ2m,δ , Y ∼ χ2n , …XÚY Õá, K X/m Z= Y /n ©Ù¡•gdÝ•m, nÚš¥%ëê•δ š¥% F ©Ù, P•Z ∼ Fm,n;δ . δ = 0ž, ¡Z ©Ù•¥% F ©Ù,=c¡½Â Fm,n . eZ ∼ Fm,n;δ , KZ —Ý¼ê• ∞  n m 2 mx k 2 (δ ) Γ( m+n 2 +k)  mΓ(2 nn )2 e− δ2 x m2 −1  2 m+n +k , x > 0, fm,n;δ (x) = 2 k=0 k! Γ( m 2 +k)(mx+n) 2 (1.5) 0, Ù§.  š¥% F ©Ùäke 5Ÿµ (1)eX ∼ tn,δ , KX 2 ∼ F1,n;δ . L (2)eZn ∼ Fm,n;δ , n = 1, 2, · · · , δ ½, K n → ∞žZn −→ Xm,δ 2 . (3)eZ ∼ Fm,n;δ ,K n(m+δ) E(Z) = m(n−2) , én > 2. 2 2n D(Z) = m2 (n−2)2 (n−4) [(m + δ 2 )2 + (n − 2)(m + 2δ 2 )], n > 4. 1.1 oNe þŠÚ • ©Ù é oN, ·‚k ½ n 3. X1 , X2 , · · · , Xn i.i.d. ∼ N (a, σ 2 ), K n 2 Xi −a σ ∼ χ2n . i=1 d?·‚‰Ñ˜‡|^A ¼ê y²•{. ¯ Y2 = X2 , · · · , Yn = Xn , Ïdd Proof. ‰C†: Y1 = X, x1 = ny1 − y2 − · · · − yn x2 = y2 .. . xn = yn ±9 4 

5 . n n (xi − a)2 = ¯)2 + n(¯ (xi − x x − a)2 i=1 1 Œ± Y1 , · · · , Yn éÜ—Ý• n (ny1 − y2 − · · · − yn − y1 )2 2 (yi − y1 )2 n(y1 − a)2 f (y1 , · · · , yn ) = n(2πσ 2 )−n/2 exp − − − 2σ 2 2σ 2 2σ 2 Kdc®•, Y1 ∼ N (a, σ 2 /n), Ïdy2 , · · · , yn 3‰½y1 ^‡—Ý• √ n(2πσ 2 )−(n−1)/2 exp(−q/2σ 2 ) n Ù¥q = (ny1 − y2 − · · · − yn − y1 )2 + 2 (yi − y1 )2 . 5¿ n n (n − 1)S = 2 ¯ 2 = (nY1 − Y2 − · · · − Yn − Y1 )2 + (Xi − X) (Yi − Y1 )2 = Q 1 2 Ïd(n − 1)S 2 3‰½Y1 = y1 ^‡A ¼ê• 2 √ E(eitQ/σ |y1 ) = ··· n(2πσ 2 )−(n−1)/2 exp(−(1 − 2it)q/2σ 2 )dy2 · · · dyn (n−1)/2 √ 1 − 2it = (1 − 2it)−(n−1)/2 ··· n exp{−(1 − 2it)q/2σ 2 }dy2 · · · dyn 2πσ 2 = (1 − 2it)−(n−1)/2 d=(n − 1)S 2 /σ 2 ∼ χ2n−1 . …d^‡©ÙÚY1 Ã', ÏdS 2 ÚY1 ƒpÕá. ½ n 4. X1 , X2 , · · · , Xn i.i.d. ∼ N (a, σ 2 ), K √ ¯ n(X − a) T = ∼ tn−1 . S ½ n 5. X1 , X2 , · · · , Xm i.i.d. ∼ N (a1 , σ12 ), Y1 , Y2 , · · · , Yn i.i.d. ∼ N (a2 , σ22 ),…b½σ12 = σ22 =σ ,Ü 2 X1 , X2 , · · · , Xm †Y1 , Y2 , · · · , Yn ƒpÕá, K (X ¯ − Y¯ ) − (a1 − a2 ) mn(n + m − 2) T = · ∼ tn+m−2 , Sw n+m d?(n + m − 2)Sw 2 = (m − 1)S12 + (n − 1)S22 , d? m n 1 ¯ 2, 1 S12 = (Xi − X) S22 = (yj − Y¯ )2 . m−1 i=1 n−1 j=1 ½ n 6. X1 , X2 , · · · , Xm i.i.d. ∼ N (a1 , σ12 ), Y1 , Y2 , · · · , Yn i.i.d. ∼ N (a2 , σ22 ), …Ü X1 , X2 , · · · , Xm ÚY1 , Y2 , · · · , Yn ƒ pÕá, K S12 σ22 F = · ∼ Fm−1,n−1 , S22 σ12 d?S12 ÚS22 ½ÂXc¤ã. ½ n 7. X1 , X2 , · · · , Xn i.i.d.Ñl•ê©Ù: f (x, λ) = λe−λx I[x>0] , Kk n ¯ = 2λ 2λnX Xi ∼ χ22n . i=1 5 

6 . 2 gSÚOþ gSÚOþ: =eX1 , X2 , · · · , Xn i.i.d. ∼ F , òÙUŒ ü •X(1) ≤ X(2) ≤ · · · ≤ X(n) , K¡(X(1) , X(2) , · · · , X(n) )•gSÚOþ, § ?˜Ü©, XX(i) ,Ú(X(i) , X(j) ) (1 ≤ i < j ≤ n) •¡•gSÚOþ. gSÚOþ ©Ù 1. X(n) ©Ù P (X(n) ≤ x) = P (X1 ≤ x, · · · , Xn ≤ x) = F n (x) 2. X(1) ©Ù P (X(1) ≤ x) = 1 − P (X(1) > x) = 1 − P (X1 > x, · · · , Xn > x) = 1 − (1 − F (x))n 3. X(m) ©Ù(1 < m < n) fX(m) (x)dx ≈ P (x < X(m) ≤ x + dx n! = F m−1 (x)f (x)dx[1 − F (x + dx)]n−m (m − 1)!1!(n − m)! Ïdü>Ӟرdx, ¿-dx → 0, n fX(m) (x) = m F m−1 (x)f (x)[1 − F (x)]n−m m . 4. X(i) , X(j) éÜ—Ý  n! i−1 j−i−1  (i−1)!(j−i−1)!(n−j)! (F (x)) (F (y) − F (x))   fij (x, y) = × (1 − F (y))n−j f (x)f (y), x < y,  Ù§.   0, 5. (X(1) , · · · , X(n) ) éÜ—Ý•  n!f (x ) · · · f (x ), x(1) < x(2) < · · · < x(n) , (1) (n) g(x(1) , · · · , x(n) ) = 0, Ù§. 6. 4 X(n) − X(1) ©Ù Še C† V = X(j) − X(i) X(i) = Z ⇐⇒ Z = X(i) X(j) = V + Z ∂(X(i) ,X(j) ) C† Jacobian 1 ª•:|J| = ∂V ∂Z = 1, (X(i) , X(j) ) éÜ©Ù—Ýdc‰Ñ, (V, Z) éÜ—Ý•  n! i−1    (i−1)!(j−i−1)!(n−j)! (F (z)) (F (v + z) − F (z))j−i−1 gij (v, z) = n−j (2.1) × (1 − F (v + z)) f (z)f (v + z), v > 0,  Ù§.   0, 6 

7 .l ´•V —Ý• ∞ fV (v) = gi,j (v, z)dz. −∞ AO, i = 1, j = n (R, X(1) ) éÜ—Ý   n! (F (v + z) − F (z))n−2 f (v + z)f (z), v > 0, g1,n (v, z) = (n−2)! (2.2) 0, v ≤ 0. ∞ R > —Ý• −∞ g1,n (v, z)dz. þ!©Ùœ/ X1 , X2 , · · · , Xn i.i.d. ∼þ!©ÙU (0, 1),٩ټêڗݼê©O•   0, x ≤ 0,   1, 0 < x < 1, F (x) = x, 0 < x < 1, Ú f (x) =   1, x ≥ 1.  0, Ù§ (X(1) , X(2) , · · · , X(n) )• X1 , X2 , · · · , Xn gSÚOþ, gSÚOþX(m) —Ý¼ê • n m−1 fm (x) = m x (1 − x)m−n I[0,1] (x). (2.3) m dcŒ•(X(i) , X(j) ) éÜ—Ý• n! i−1 (i−1)!(j−i−1)!(n−j)! x (y − x)j−i−1 (1 − x)n−j , 0 < x < y < 1, fij (x) = 0, Ù§. (X(1) , X(2) , · · · , X(n) ) éÜ—Ý• n!, 0 < x(1) < · · · < x(n) < 1, f1,2,··· ,n (x(1) , x(2) , · · · , x(n) ) = 0, Ù§. -F (z) = z, 0 < z < 1, F (v + z) = v + z, 0 < v + z < 1, 3þ!©ÙU (0, 1) | Ü(V, Z) éÜ—Ý  n! i−1 j−i−1    (i−1)!(j−i−1)!(n−j)! z v [1 − (v + z)]n−j , gij (v, z) = 0 < z < 1, 0 < v + z < 1,  Ù§.   0, 1−v džV = X(j) − X(i) > —Ý, ÏLOŽÈ© 0 gi,j (v, z)dz n! j−i−1 (j−i−1)!(n−j+i)! v (1 − v)n−j+1 , 0 < v < 1, gnij (v) = 0, Ù§. AO4 R = X(n) − X(1) —ݼêg1n (r)•òcª¥ v†¤r,òjÚi©O^nÚ1“O  n(n − 1)rn−2 (1 − r), 0 < r < 1, g1n (r) = 0, Ù§. 7 

8 . 3 ÚOþ 4•©Ù ÙÚ󥮕Ñ, 3Nõœ/eÚOþ °(©ÙéJ¦Ñ, Ïd·‚‡ïÄÚOþ 4 •©Ù. Äk‰Ñe ½Â. ½  1. Œ ª•Ã¡ž, ÚOþ ©Ùªu˜(½©Ù, K ö ©Ù¡•ÚOþ 4 •©Ù. •~¡•Œ ©Ù. Œ n ¿©Œž, 4•©ÙŒŠ•ÚOþ Cq©Ù. ïÄÚOþ 4•©Ùke ¿Â: (1) • ¼ ÚOíä•{ `û5, ~~‡• ÚO þ ©Ù. ÚOþ °(©Ù˜„éJ¦ , ïáÚOþ 4•©Ù, Jø ˜«Cq•{, o'Ÿo•{vk‡Ð. (2) kžÚOþ °(©Ù•Œ¦Ñ, LˆªLuE,, ¦^Ø•B. e4•©Ù {ü, wŒ¦^4•©Ù. (3) k ÚOíä•{ `û5 Ò´ïÄÙ4•5 Ÿ, XƒÜ5, ìC 5 . ½  2. t Œ n → ∞ ž, ˜‡ÚOþ½ÚOíä•{ 5Ÿ¡•Œ 5Ÿ (Large sample properties). Œ ½ž, ÚOþ½ÚOíä•{ 5Ÿ¡• 5Ÿ (Small sample properties). 3d‡rN ´, Œ 5Ÿ Ú 5Ÿ OØ3u ‡ê õ , ´3u¤? Ø ¯K´3 Œ n→∞ž •Ä, „´3 Œ n ½ž ïÄ, 'uŒ 5Ÿ ïÄ ¤ ênÚO ˜‡é-‡ Ü©, ‰ÚOŒ nØ. ÚOŒ nØ, CA›c5 uÐé¯, ¤• g-.ŒÔ ênÚOuÐ -‡A:ƒ˜. k ÚO©|, XšëêÚO, Ù¥Œ nØÓâ Ì / . 8