04 统计学基础--点估计(一)

主要介绍了参数估计中的矩估计。首先介绍了判断估计量的优良性标准:无偏性、有效性、相合性,其次介绍了矩估计的知识,如k阶原点矩、k阶中心矩,最后从估计量的优良性判断出发,判断矩估计的无偏性、有效性、相合性。
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1. Lec4: : O(˜) Ü•² September 24, 2009 §1 Úó ênÚO ?Ö´^ íäoN. ëê O´ÚOíä ˜«-‡/ª. këê ©ÙxF = {Fθ , θ ∈ Θ},Ù¥Θ´ëê˜m, Fθ ©Ù/ª®•, ٩ن™•ëêθk'. X1 , · · · , Xn ´loNFθ ¥ÄÑ {ü‘Å . ·‚ ?Ö´‡|^ 陕ëêθ½Ù ¼êg(θ)ŠÑ O. ¤±3ëê©Ùx |Ü, rëêŒn)•½Â3ëê˜mΘþ ¢Š¼ êg(θ), ˜‡-‡ A~´g(θ) = θ. ~X, X1 , · · · , Xn i.i.d. ∼ N (a, σ 2 ),Pθ = (µ, σ 2 ),·‚F "|^ éµÚσ 2 ½Ù¼êg(θ) = µ/σ 2 ŠŠÑ O, ùÒ´ëê O¯K. kž ©ÙxF = {F }´šëê©Ùx, Ù¥F ©Ù/ª™•, ÙþŠ!• Ñ´•xoN,•¡5Ÿ þ, •Ñ´ëê. Ïd3šëê©Ùx|Ü, rëên)•©Ù xF þ •¼g(F ).·‚F"|^ ég(F ),~Xg(F )•oNþŠ!• ½¥ ê , ŠÑ O, ù•áuëê O¯K. ~X, ·‚l,¢½Ø¬¥Ä ˜Ü©, éÙcÂ\ŠN , ¼ X1 , · · · , Xn , ‡éT¢½Ø¬ c<þÂ\ŠÑ O, Òáuùa¯K. ëê O(Parameter estimation)¯K~küa: : OÚ«m O. : OÒ´^ ¼ê ˜‡äNêŠ O˜‡™•ëê. «m OÒ´^ ¼ê ü‡Š ¤ «m O™•ëê Š‰Œ. ½Â 1. X = (X1 , · · · , Xn ) •l,oN¥Ä , gˆ(X) = gˆ(X1 , · · · , Xn )´ ¼ ê, ^gˆ(X) Š•g(θ) O, ¡•: O(Point estimation). Ù·‚òÄk?Ø: O •{. éuÓ˜‡™•ëêθ (••BO, d?±g(θ) = θ• ~) OþŒ±kéõ. ~X, X1 , · · · , Xn ´ g,oNF ∈ F ˜|{ü . édo N þŠθ = EF (X)Œ±‰ÑA‡ Oþ: ¯ = 1 (X1 + · · · + Xn ), θˆ1 = X n ˆ 1 θ2 = X(1) + X(n) , 2 θˆ3 = m1/2 . Ù¥X(1) ÚX(n) • • Ú•ŒgSÚOþ, m1/2 • ¥ ê. „Œ±‰ÑÙ§ O þ. ùÒ )˜‡¯K: ·‚æ^=˜‡ OþŠ•θ : O ÐQ? ùÒ 9 µd˜‡ Oþ` IO¯K. IOØÓ, £‰•ØÓ. 3²; OnØ¥, ^5µd OþЀ IOk: à 5!k 5!ƒÜ5ÚìC 5 , ±93,«IOeϦ•Ð O. 1

2. §2 ä Oþ `û5IO 1. à 5 ·‚3µd OþЀž, ˜„oF" Oþθ(X) ˆ ²þŠ†θ ˆ C Ð, =E(θ(X)− θ) ˆ Ð. duθ(X) ˆ ´‘ÅCþ, θ(X) Škž'θ ŠŒ, kž'θ Š , ·‚F"θ(X) ˆ 3 Œþ-E¦^ž, 3²þ¿Âeθ(X)ˆ †θ ˆ é . Ï"ŠE(θ(X) − θ) = 0, žÒ à ˆ 5 Vg. òÙ˜„z,^g(θ)“Oθ, ^gˆ(X)“Oθ(X), Xe½Â: ½Â 1. X = (X1 , · · · , Xn )•loN{Fθ , θ ∈ Θ}¥Ä , g(θ)´½Âuëê˜mΘþ ®•¼ê. gˆ(X) = gˆ(X1 , · · · , Xn )´g(θ) ˜‡ Oþ, XJ Eθ (ˆ g (X)) = g(θ), é?Û θ ∈ Θ K¡gˆ(X)•g(θ) ˜‡Ã Oþ (Unbiased estimation). Pgˆ(X) = gˆn (X),e lim Eθ (ˆ gn (X)) = g(θ), é?Û θ ∈ Θ n→∞ K¡gˆn (X)•g(θ) ìCà O (Asymptotically unbiased estimation). à 5 ¹¿kü‡: 1˜‡¹¿´ÃXÚ . du ‘Å5, gˆ(X)´ ¼ ê§Ïd§´˜‘ÅCþ, ^ Oþgˆ(X) Og(θ),é, g (X)†g(θ)ƒ', ž ,ˆ $; é,˜ , gˆ(X)ž p; à 5L«, rù K 3VÇþ²þå5, ÙŠ•0. X ^˜\® ¡ÀÜ, Ø 5 k : (i)ù\®g ( þk¯K. ^§¡ÀÜo´–•u p½o´–•u $, ùáuXÚØ . (ii),˜«Ø ´‘ÅØ , dØŒ›› σ ), X§Ý!—ÝÚóŠ< %nÅÄ K•E¤ , ùáu‘ÅØ . à 5ƒ u‡¦ ÃXÚØ . ‘ÅØ o´•3 , Œþ-E¦^à O, Ø kž• , kž•K, ‘ ÅØ Œ± Kƒ-ž. à 5 ,˜‡¹¿´: ‡¦ OþŒþ-E¦^, 3õg-E¦^e‰Ñ CýŠg(θ) O. Žù ˜«œ¹: zUÄ ég(θ)?1 O, 1iU •X(i) = (X1(i) , · · · , Xn(i) ), OŠ•gˆ X(i) ,˜ Š nU. X(1) , · · · , X(n) ´ÕáÓ©Ù , Xgˆ(X)kà 5, UŒ ê½Æk n 1 P lim gˆ X(i) = g(θ) = 1 n→∞ n i=1 Ò´`, ¦+˜g O(Jgˆ X(i) ؘ½TÐ ug(θ), 3Œþ-E¦^ž, õg O Žâ²þŠ, Œ±?¿ Cg(θ). XJù˜ Oþgˆ(X)•¦^˜g, à 5ù‡VgÒ” ¿ Â. 3: OnØ¥, 8cà 5EÓk-‡ / . Ø {¤Ïƒ , „kü‡ Ï. ˜´ à 5 ‡¦• 9˜ Ý(þŠ), 3êÆ?nž •B. ´3vkÙ§ÜnOKŒÌž, <‚%nþú : ˜‡äkà 5 O, o'vkù«5Ÿ O‡Ð . ½Â 2. X1 , · · · , Xn ´ gÏ"•µ,• •σ 2 oN ˜‡ . w, ¯ ´µ à þŠX n O. y² • S 2 = n−1 1 ¯ 2 ´σ 2 à (Xi − X) O. i=1 y w, n 1 ¯ 2) = n ¯2 E(S 2 ) = E(Xi2 ) − nE(X E(X12 ) − E X n−1 i=1 n−1 2

3. n = σ 2 + µ2 − σ 2 n + µ2 = σ2 , n−1 • S 2 ´σ 2 à O. 2. k 5 3A^¥, Ó˜‡ëê à O~~ØŽ˜‡, @oÀ^=˜‡Ã O•ÐQ? • )ûÐù˜¯K, Ò‡?Ø Oþ k 5(efficiency). θ1 Úθ2 •θ ü‡Ã O, dà 5Œ•§‚ ˜ ݃ , ·‚' §‚ ¥%Ý—• , • Ð. ½Â 3. gˆ1 (X) = gˆ1 (X1 , · · · , Xn )Úgˆ2 (X) = gˆ2 (X1 , · · · , Xn )•g(θ) ü‡ØÓà Oþ, e g1 (X)) ≤ Dθ (ˆ Dθ (ˆ g2 (X)), 阃 θ ∈ Θ, …– •3˜‡θ ∈ Θ,¦ î‚Ø Ò¤á, K¡ Oþgˆ1 (X)'gˆ2 (X)k . lù‡½ÂÑuŒ±wÑ, 3þŠƒ ^‡e, • Oþ k . ~X, X1 , · · · , Xn ´ goNF ˜‡{ü , oNþŠµÚoN• σ Ñ•3, Kθˆ1 = X1 Úθˆ2 = X 2 ¯ Ñ´o NþŠµ à Oþ, §‚ • ©O´ 1 2 D(θˆ1 ) = σ 2 , D(θˆ2 ) = σ . n ¯ 'X1 •k , …n Œ, X ö• , Œ„X ¯ éµ OÒ k . ùÒ´3ÔN ¡-¯K ¥, •Ÿo·‚‡òÔN¡ng, ^Ù²þŠŠ•Ô- nd. 3. ƒÜ5 Œþ¢‚L², ‘X Nþn O\, Oþgˆ(X) = gˆ(X1 , · · · , Xn ) † Oëêg(θ) 5 , ù´˜‡ûÐ OþAäk 5Ÿ. ÁŽ, eØ,, ÃØŠõ gÁ , •Ø Urg(θ) O ?¿•½ °(§Ý,ù Oþw,´ØŒ . ½Â 4. éz‡g,ên, gˆn (X) = gˆn (X1 , · · · , Xn )´g(θ)˜‡ Oþ, egˆn (X)•VÇÂñ g(θ),=é?Ûθ ∈ Θ9ε > 0k gn (X) − g(θ)| ≥ ε) = 0, lim Pθ (|ˆ n→∞ K¡gˆn (X)•g(θ) fƒÜ O (Weakly consistent estimation).eé?Ûθ ∈ Θk Pθ lim gˆn (X) = g(θ) = 1, n→∞ K¡gˆn (X)•g(θ) rƒÜ O (Strongly consistent estimation).er > 0 Úé?Ûθ ∈ Θ,k gn (X) − g(θ)|r = 0, lim Eθ |ˆ n→∞ ¡gˆn (X)•g(θ) r ÝƒÜ O (Consistent estimation in r’th mean). r = 2ž¡•þ•ƒ Ü O (Consistent estimation in quadratic mean). Oþ ƒÜ5´éŒ ¯KJÑ ‡¦, ´ Oþ ˜«Œ 5Ÿ. dVÇØ¥'uùA«Âñ5 'X, Œ•þãn«ƒÜ5kXe'X: rƒÜ=⇒ fƒÜ,‡ ƒØ7é; é?Ûr > 0k:r ÝƒÜ =⇒ fƒÜ, ‡ƒØ7é. qrƒÜ†r ݃܃mv k•¹'X. Oþ Œ 5Ÿ,„kìC 5,·‚ò3 Ù ¡k' !¥‰Ñ½Â. 3

4. §3 Ý O ˜!Ý{ÚÝ Oþ X1 , · · · , Xn ´loNF ¥Ä {ü‘Å . ùž, ÝŒ^5 OF ƒA oNÝ. =oNk :Ýαk = E(X ) Ý Oþ´ƒA k k :Ý n 1 ank = Xik , k = 1, 2, · · · , (3.1) n i=1 AOoNþŠα1 = E(X) Ý Oþ´ ¯ þŠan1 = X. oNk ¥%ݵk = E(X − E(X))k Ý Oþ´ƒA k ¥%Ý n 1 ¯ k mnk = Xi − X , k = 1, 2, · · · , (3.2) n i=1 n 2 AOoN• µ2 = E(X − EX)2 Ý Oþþ´mn2 = Sn2 = 1 ¯ Xi − X , §† • n i=1 n 2 S2 = 1 ¯ Xi − X • ˜‡~êÏf. n−1 i=1 ^ank , mnk ©O Oαk Ú µk ´˜«Äu†* •{, § •â´: ank ´αk à O, = n n 1 1 Eank = E(Xik ) = αk = αk . (3.3) n i=1 n i=1 ^mnk Oµk ,˜„Ø´Ã , Œ n Œž, ØwÍ, …7‡žŒŠ˜ ? , ¦ƒ¤•Ã O. žwe~: ~1. µ2 = σ 2 ´oN• , KSn2 = mn2 Ø´σ 2 à O. y d~Œ• n n 1 ¯ 2 n−1 1 ¯ 2 E(Sn2 ) = E (Xi − X) = E (Xi − X) n i=1 n n−1 i=1 n−1 n−1 2 = E(S 2 ) = σ . (3.4) n n Ï mn2 Ø´σ 2 à O, …´XÚ/ $. òÙ? , •L^ n n 1 ¯ 2 = S2 m∗n2 = mn2 = (Xi − X) (3.5) n−1 n−1 i=1 “Omn2 ,Ò E(m∗n2 ) = E(S 2 ) = σ 2 ,=S 2 •oN• à O. ùÒ´·‚^S 2 Š• • ½Â, Ø^mn2 nd¤3. k ≥ 4,ÒØUÏLù {ü ? ѵk à O. ˜„, k ¥%ÝŒ±^ :ÝLÑ(- an0 = 1): n n k 1 1 k mnk = (Xi − an1 )k = (−1)k−r Xir ak−r n1 n i=1 n i=1 r=0 r k n 1 k k−r = Xir (−1)k−r a r=0 n i=1 r n1 4

5. k k = (−1)k−r anr ak−r n1 , (3.6) r=0 r e¡‰ÑÝ{9Ý Oþ ½Â. ½Â 1. koN©Ùx{Fθ , θ ∈ Θ}, Θ´ëê˜m, g(θ)´½Â3Θ þ ëêθ ¼ê, §Œ ±L•oN©Ù , Ý ¼ê, = g(θ) = G(α1 , · · · , αk ; µ1 , · · · , µS ). (3.7) X = (X1 , · · · , Xn )´lþã©Ùx¥Ä {ü , ^ani Ú mnj ©O“O(3.7)ª¥ αi Ú µj gˆ(X) = G(an1 , · · · , ank ; mn1 , · · · , mns ), (3.8) Ù¥ani ´αi Ý Oþ, mnj ´µj Ý Oþ, Kgˆ(X)Š•g(θ) Oþ, ¡•g(θ) Ý O þ(Moment estimate). ù«¦Ý Oþ •{¡•Ý{ (Moment method of estimation). !eZ~f ~2. X1 , · · · , Xn ´läk¤õVÇθ ü:©ÙoNb(1, θ)¥Ä {ü , ¦θÚg(θ) = θ(1 − θ) Ý O. ) X ∼ b(1, θ),=kP (X = x) = θx (1 − θ)1−x . duE(X) = θ,Ïdθ Ý OÒ ˆ 1 , · · · , Xn ) = X, ´θ(X ¯ g(θ) Ý O´ ¯ − X). gˆ(X1 , · · · , Xn ) = X(1 ¯ ~3. X1 , · · · , Xn i.i.d. ∼ þ!©ÙU (θ1 , θ2 ), ëêθ = (θ1 , θ2 ),Ù¥−∞ < θ1 < θ2 < +∞. ¦θ1 Úθ2 Ý Oþ. ) X ∼ U (θ1 , θ2 ), dþ!©Ù 5ŸŒ• E(X) = α1 = (θ1 + θ2 ) 2, D(X) = µ2 = (θ2 − θ1 )2 12. )d•§| θ1 = α1 − 3µ2 , θ2 = α1 + 3µ2 . ¯ Ú mn2 “\ òþª¥α1 Ú µ2 ©O^X √ √ θˆ1 (X1 , · · · , Xn ) = X ¯− ¯− 3mn2 = X 3Sn , √ θˆ2 (X1 , · · · , Xn ) = X ¯+ 3Sn , Ù¥Sn2 d(3.4)‰Ñ(½Œ^S “OSn ,d?S 2 dúª(3.5)‰Ñ). ~4. oN©ÙkVÇ—Ý √θ 2 π exp {−θx2 } x>0 fθ (x) = 0 x ≤ 0, Ù¥θ > 0•™•ëê. ù‡©Ù¡•Maxwell ©Ù, 3íN©fÄåÆ¥kA^. X1 , · · · , Xn • ÄgdoN {ü‘Å , ¦g(θ) = 1/θ Ý Oþ. 5

6. ) d•§ ∞ θ 2 1 α1 = E(X) = 2 xe−θx dx = √ π 0 πθ ) ¯ “O g(θ) = 1/θ = πα1 ,òα1 ^X 2 ¯ 2. g1 (X1 , · · · , Xn ) = π X ,˜•¡, d,˜•§ ∞ θ 2 1 α2 = Eθ (X 2 ) = 2 x2 e−θx dx = π 0 2θ n ) g(θ) = 1/θ = 2α2 , òα2 ^an2 = 1 n Xi2 “\, g(θ) Ý O i=1 n 2 gˆ2 (X1 , · · · , Xn ) = 2 an2 = Xi2 . n i=1 ddŒ„Ý OþØ•˜, §‚Ó Ün. ùü‡Ý Oþgˆ1 (X) Úgˆ2 (X)¥=˜‡ •Ð? ± ·‚òy²Äuan2 Oþgˆ2 (X),3g(θ)˜ƒÃ Oa¥•• • ö. Ä uan1 Ogˆ1 (X)Ø´g(θ) à O. ~5. oN©ÙkVÇ—Ý θ2 θ1 Γ((1+θ1 )/θ2 ) x exp{−xθ2 } x>0 fθ (x) = 0 x ≤ 0, ëêθ = (θ1 , θ2 ) Cz‰Œ−1 < θ1 < ∞, θ2 > 0. X1 , · · · , Xn •ÄgdoN {ü‘Å , ¦θ1 Úθ2 Ý Oþ. ) d{üOŽ oN©Ù cü Ý•: 2 + θ1 1 + θ1 α1 = Γ Γ , θ2 θ2 3 + θ1 1 + θ1 α2 = Γ Γ . (3.9) θ2 θ2 UÝ O•{, ^an1 Úan2 ©O“O(3.9)¥ α1 Úα2 ,^θˆ1 Úθˆ2 ©O“Oθ1 Úθ2 , Xe • §|: 2 + θˆ1 1 + θˆ1 an1 = Γ Γ , θˆ2 θˆ2 3 + θˆ1 1 + θˆ1 an2 = Γ Γ . θˆ2 θˆ2 Ù)Ò´θ1 Úθ2 Ý O. d? ØÑθˆ1 Úθˆ2 )ÛLˆª, •U^ꊕ{. d~`² Ø´¤k Ý OÑk)ÛLˆª . Ý O•{•Œ±^uõ‘ , žwe~. ~6. (Xi , Yi ), i = 1, 2, · · · , n•l˜‡ ‘oN¥Ä {ü‘Å , ¦oN©Ù • σ12 Úƒ'XêÚρ Ý O. 6

7. ) U½Âσ12 Ý Oþ´ • ,= n 1 ¯ i − Y¯ ), m12 = (Xi − X)(Y (3.10) n i=1 ¯= n n Ù¥X 1 n i=1 Xi , Y¯ = 1 n j=1 Yj , ρ Ý Oþ´ ƒ'Xê, = n ¯ i − Y¯ ) (Xi − X)(Y i=1 r= . (3.11) n n ¯ 2 (Xi − X) (Yi − Y¯ )2 i=1 j=1 n!Ý O à 5 Ý{´dK. Pearson 1894cJÑ : O P•{. § A:´†*5r, ^d{¼ Oþ{B!´1, …؇¦¯k• oN ©Ù, Ý Oþ„äkƒÜ5. § ":´: 3ëê©Ùx|Ü, vk¿©|^ÙJø k'ëê &E, 5ŸØâÑ. d , Ý OþØ䕘5. e¡·‚ïÄÝ O e n•¡ 5Ÿ: 5Ÿkà 5, Œ 5ŸkƒÜ5 ÚìC 5. ÙŒ 5Ÿò˜3eã•Ä. Oþ à 5ÚìCà 5 ½Â3§3.1¥®‰Ñ, e¡?ØÝ O à 5ÚìC à 5. (1) k :Ýank ´oNk :Ýαk (k = 1, 2, · · · ) à O, úª(3.3)®‰Ñ y². (2) ék ≥ 2, k ¥%ÝØ´oNk ¥%Ý Ã O. (i) d~3.2.1Œ• n−1 E(mn2 ) = µ2 , n òÙ? , n n 1 ¯ 2 S2 = mn2 = (Xi − X) n−1 n−1 i=1 ´µ2 à O. (ii) ²LOŽŒ• 3 ¥%Ýmn3 •Ø´oN3 ¥%ݵ3 à O, ¯¢þ (n − 1)(n − 2) E(mn3 ) = µ3 . (3.12) n2 òÙ? , n2 m∗n3 = mn3 , (n − 1)(n − 2) §´µ3 à O. (iii) •?˜Ú, Œ±y²éν ≥ 4k E(mnν ) = µν + O(1/n), (3.13) Ïdéν ≥ 4, mnν •Ø´oN ν ¥%ݵν à O. (3) Ý O˜„äkìCà 5. d(2)Œ„mnν (ν ≥ 2)´oNν ¥%ݵν ìCà O. X (n − 1)(n − 2) lim E(mn3 ) = lim µ3 = µ3 . n→∞ n→∞ n2 7

8. ˆ ~7. X1 , · · · , Xn i.i.d. ∼ •ê©Ù EP (λ),Ù—Ý•fλ (x) = λe−λx I[x>0] . ¦λ Ý Oþλ, ¿?ا à 5. ∞ ¯ = an1 “\, ) duα1 = 0 xfλ (x)dx = 1/λ,) λ = 1/α1 , òα1 ^ÙÝ OþX λ Ý Oþ• ˆ 1 , · · · , Xn ) = 1 X. λ(X ¯ n duY = Xi ∼ Gamma©Ù G(n, λ), i=1 ∞ ˆ = nE 1/Y = n 1 λn n−1 −λy E(λ) · y e dy = nλ/(n − 1), 0 y Γ(n) Œ„λ(Xˆ 1 , · · · , Xn ) = 1/X ¯ Ø´λ à O. ÏdÝ Oþؘ½Ñäkà 5. ˆ = lim E(λ) n→∞ lim [n/(n − 1) · λ] = λ, λ(X ˆ 1 , · · · , Xn )´λ ìCà O. éλ ˆ ÑŠ? , Œ λ ˜‡Ã n→∞ O ˆ ∗ (X1 , · · · , Xn ) = (n − 1)λ(X λ ˆ 1 , · · · , Xn )/n = (n − 1)/(nX). ¯ o!Ý O ƒÜ5ÚìC 5 1. Ý O ƒÜ5 Oþ A«ƒÜ5 ½Â®3§3.1¥‰Ñ. ˜„`5Ý O3 ˜„ ^‡eäkƒ Ü5. d?·‚‰ÑÝ O rƒÜ5, w,ƒA Ý O fƒÜ5•¤á. (1) :Ý´oNk k :Ý rƒÜ O. X1 , · · · , Xn ´loNF ¥Ä {ü‘Å , ank • k :Ý, αk •oN k :Ý. dÕáÓ©Ù|Ü … # a.s. xâÅrŒêÆŒ•ank −−→ αk , k = 1, 2, · · · .= P lim ank = αk = 1, k = 1, 2, · · · n→∞ (2) k ¥%Ý´oNk ¥%Ý rƒÜ O. ù˜(Ø y²^ e ¯¢(A): a.s. (A) ¼ êf (y1 , · · · , yk )3(c1 , c2 , · · · , ck )? ë Y, eyn1 −−→ c1 , · · · , a.s. a.s. ynk −−→ ck ,Kf (yn1 , · · · , ynk ) −−→ f (c1 , c2 , · · · , ck ). ù˜¯¢ y²3ŠöS. ·‚3¯¢(A)¤á cJe, y²þã(Ø: du k k µk = (−1)k−r α αk−r = f (α1 , α2 , · · · , αk ), r=0 r k 1 a.s. w„f (·)´ÙC ëY¼ê. d(1)Œ•ani −−→ αi , i = 1, · · · , k, dþ㯢(A)9ú ª(3.6)á a.s. mnk = f (an1 , · · · , ank ) −−→ f (α1 , · · · , αk ) = µk , k = 1, 2, · · · , ùÒy² (Ø. (3) g(θ)k(??)/ª, ÙÝ O•(??), 'udaÝ O rƒÜ5keã½n. ½n 1. X = (X1 , · · · , Xn )•loNF ¥Ä {ü‘Å , – ¼êg(θ) = G(α1 , · · · , αk , µ2 , · · · , µS ), ÙÝ Oþ•gˆn (X) = G(an1 , · · · , ank , mn2 , · · · , mns ),…G•ÙC ëY¼ê, Kgˆn (X)•g(θ) ƒrƒÜ O. 8

9. a.s. a.s. y d(1)Œ•ani −−→ αi , i = 1, 2, · · · .d(2)Œ•mni −−→ µi , i = 2, 3, · · · .2dG´ÙC a.s. ëY¼ê, |^¯¢(A), á=Œ gˆn (X) −−→ g(θ). dù˜½nŒ ј ~„ O ƒÜ5. ~X oNN (a, σ 2 )¥, ¯Ú þŠX • S 2 ©O´aÚσ 2 rƒÜ O. •ØJy²S 2 ´σ 2 þ•ƒÜ O. Ù¢é?Ûr > 0, S 2 ´σ 2 r ÝƒÜ O. ~3.2.5¥½Â Ý!¸ÝÚCÉXê Ý OÑ´rƒÜ . 2. Ý O ìC 5 ã·‚ò3阄 ^‡e, ‰ÑÝ O´ƒÜìC O. e¡Äk‰Ñ½Â ½Â 2. X = (X1 , · · · , Xn )´loN{Fθ , θ ∈ Θ}¥Ä {ü , gˆn (X)´g(θ) Ý O þ. e•3† Œ nk' , ½Âuëê˜mΘþ ¼êAn (θ)ÚBn (θ), Ù¥Bn (θ)3Θþ ??Œu0,¦ n → ∞ž L gn (X)) − An (θ)) Bn (θ) −→ N (0, 1) (ˆ …gˆ(X)•g(θ) fƒÜ O, K¡gˆ(X)•g(θ) ƒÜìC O (Consistent Asymptotic Normal Estimation, {P•CAN O). Ò´`CAN O´QƒÜ, Ù©ÙqìCÑl ©Ù @« O. ã·‚JÑü‡ -‡(J,=3阄 ^‡e,Ý O•CAN O. Delta •{ b φ : D ⊂ Rk −→ Rm •˜½Â3Rk f8Dþ N , …3θ(θ ∈ R )?Œ‡. b Tn •˜ k ŠuDþ ‘Å•þ, …•3 ªuá ~êê d rn ¦ rn (Tn − θ) −→ T , K d rn [φ(Tn ) − φ(θ)] −→ φ (θ)T. Ù¥φ (θ)•¼êφ3θ? m×k êÝ . AO, eT ∼ N (0, A), KŒ± Ñφ (θ)T ∼ N (0, φ (θ)A[φ (θ)]T ). ¦^d•{Œ±y² Xe(Ø. (1) X1 , · · · , Xn •loN{Fθ , θ ∈ Θ} ¥Ä {ü , g(θ)´½Â3ëê˜ mΘþ ¢¼ê, §Œ±L•/ª: g(θ) = G(α1 , · · · , αk ) (eG ´α1 , · · · , αk , µ1 , · · · , µs ¼ê, Ø”-s ≤ k,Œòµj ^α1 , α2 , · · · , αs LÑ, KGEŒL•α1 , · · · , αk ¼ê), gˆ(X) = gˆ(X1 , · · · , Xn ) = G(an1 , · · · , ank )•g(θ) Ý O. 2 oN 2k :Ý•3, …G éÙˆ C ˜ ê•3!ëY, - bij = αi+j − αi αj , i, j = 1, 2, · · · , k; B = bij • k×k • , ∂G(α1 , · · · , αk ) di = , i = 1, 2, · · · , k; d = (d1 , · · · , dk ) ∂αi b2 = d Bd. ½n 2. 3þãPÒÚ^‡e,ˆ gn (X)•g(θ) = G(α1 , · · · , αk ) CAN O. =gˆn (X)•g(θ) fƒÜ O,…k √ L n gˆn (X) − G(α1 , · · · , αk ) −→ N (0, b2 ), n→∞ž 9

10. y d½n3.2.1Œ•gˆn (X) •g(θ) = G(α1 , · · · , αk ) rƒÜ O. ÙìC 5 y² „ë•©z[2] P82 ½n2.6. (2) 3˜ œ¹e, g(θ) ŒL•˜!ü‡¥%Ý ¼ê, „ŒU•¹oNþŠα1 , g(θ) Lˆª {ü. eò¥%Ý^ :ÝLÑ, g(θ) LˆªKw E,, Ïdk7‡‰Ñù« œ/eìC 5 (J. ˜„, òg(θ) Lˆ¤Xe/ª g(θ) = H(α1 , µt2 , · · · , µtr ), (3.14) ÙÝ ¯ mnt , · · · , mnt ),¦^†½n3.2.2aqy²•{, Œ Xe(J: Oþ•H(X, 2 r ½n 3. (3.14)ª¥ ¼êH 3:(α1 , µt2 , · · · , µtr ) •Sk˜ ê, …d ê3 :(α1 , µt2 , · · · , µtr ) ?ëY, Kk √ L ¯ mnt , · · · , mnt ) − H(α , µt , · · · , µt ) −→ N (0, b2 ). n H(X, (3.15) 2 r 1 2 r d? r r 2 b = σij Hi Hj , (3.16) i=1 j=1 Ù¥ ∂H ∂H H1 = , Hi = , i = 2, 3, · · · , r; ∂α1 ∂µti σ11 = µ2 , σ1i = σi1 = µti +1 − ti µti −1 µ2 , i = 2, · · · , r; σij = µti +tj − ti µti −1 µtj +1 − tj µti +1 µtj −1 − µti µtj +ti tj µ2 µti −1 µtj −1 , i, j = 2, 3, · · · , r. XJg(θ) kH(µt2 , · · · , µtr ) /G, =†α1 Ã', K(3.15)E¤á, •Ir(3.16)ª¤(½ b2 r r U• σij Hi Hj =Œ. i=2 j=2 ~8. UY•Ä~3.2.5. Oþg(θ) • Ýβ1 ,¸Ýβ2 ÚCÉXêV,ÙÝ Oþd~3.2.6Œ •• mn3 mn4 √ βˆ1 = 3/2 , βˆ2 = 2 , Vˆ = mn2 X. ¯ mn2 mn2 ?ا‚ ìC 5. ) U(3.15) Ú(3.16)ª, éùn‡Ý Oþ©OŽ b2 ƒŠ• b2 (β1 ) = 6, b2 (β2 ) = 24, b2 (V ) = V 2 2 + V 4 . u´Šâ½n3.2.3k √ L n(βˆ1 − β1 ) −→ N (0, 6), √ L n(βˆ2 − β2 ) −→ N (0, 24), √ L n(Vˆ − V ) −→ N 0, V 2 2 + V 4 . Š 5¿ ´βˆ1 , βˆ2 4•©Ù • † O ëêŠÃ', ù:éβ1 , β2 Œ íä k^. 10