视觉的基本知识:视觉系统的几何特性

本章是视觉基本知识的第三节:介绍视觉系统的几何特性包括齐次坐标、射影几何。在任何特定的理论中,只有其中包含数学的部分才是真正的科学。故本章从数学的角度介绍视觉,从介绍齐次坐标、2D变换、3D变换等的定义出发,介绍了相机内部参数等内容
展开查看详情

1.第三节 视觉系统的几何特性

2. 在任何特定的理论中,只有其 中包含数学的部分才是真正的科学。 —— 康德

3.相关的数学基础  齐次坐标  射影几何  2D 变换  3D 变换  相机内参数

4.1. 齐次坐标 1 、点的齐次坐标 u 二个齐次坐标如相差一个非零因子,则这二  u    v  v 个齐次坐标相同    1   2 、无穷远直线上的点 u   如点 v 为无穷远直线上的点, t   则 t =0

5.1. 齐次坐标 3 、直线的齐次坐标表示 直线方程可表示为 规范化直线参数向量后,直线的齐次坐标可表示为:

6.1. 齐次坐标 4 、通过二点的直线  u1   u2  如果     x1  v1  , x2  v2  为二图象点,则通过 t  t   1  2 L 该二点的直线的参数向量为: L  x1 x 2 x1 LT x1 0 LT x 2 0 x2

7.1. 齐次坐标 5 、平行线可以相交 笛卡尔坐标系下,两条直线的方程为: 齐次坐标系下,两条直线的方程为: 可以解出 w=0 ,即两条直线相交于无穷远点。

8.1. 齐次坐标 6 、二次圆锥曲线的齐次坐标表示为:

9.2. 2D 变换 2D 变换的基本组合

10.2D 变换 2D 平移变换可描述为: 或者: 2D 旋转、平移变换可描述为:

11.2D 变换 2D 旋转、平移、尺度变换可描述为: 2D 仿射变换可描述为: 2D 透视变换可描述为:

12.2D 变换的层次

13.3. 3D 变换 3D 变换的层次

14.三维刚体变换 p 点在第一个视场中的坐标 p1 通过旋转和平移 ,变换到第二个视场中的坐标 p2  rxx rxy rxz  p 2 Rp1  t   其中 R  ryx ryy ryz   rzx rzy rzz   T t (t x , t y , t z )

15.旋转矩阵 用直角坐标系中的 欧拉角描述空间角 光轴俯仰角 (pitch)pitch)) :绕 x 轴的旋转角 光轴偏航角 (pitch)yaw) : 绕 y 轴的旋转角 光轴扭转角 (pitch)twist) :绕 z 轴的旋转角

16.旋转矩阵 rxx cos cos  rxy sin  sin cos   cos sin  rxz cos sin cos   sin  sin   rxx rxy rxz  ryx cos sin    R  ryx ryy ryz  ryy sin  sin sin   cos cos  ryz cos sin sin   sin  cos   rzx rzy rzz   rzx  sin rzy sin  cos 单位正交矩阵 rzz cos cos 数值解不稳定性

17.旋转轴  坐标系的旋转可视为逆时针绕单位矢量 (nx , n y , n的旋转 z) .  直接使用旋转轴和旋转角来产生令人满 意的数值解

18.旋转矩阵 基于齐次坐标系, 3D 旋转可以由坐标轴 n 和转角 θ 描述,或者等效描述为:

19.旋转矩阵 对于向量 v 旋转 90 度 , 等效于做一次叉乘: 当转角 θ 很小时,可以简化为

20.单位四元数  单位圆上任意一点对应一个旋转角                           (x, y)                         单位球上任意一点对应两个旋转角

21.四元数  四维单位球可以表示三维空间中的三 个旋转角 2 2 2 2 q0  q1  q2  q3 1 • 一个旋转矩阵对应四维单位球上一 点  q02  q12  q22  q32 2 q1q2  q0 q3  2 q1q3  q0 q2     R q   2 q1q2  q0 q3  q02  q22  q12  q32 2 q2 q3  q0 q1    2 q q  q q  2 q2 q3  q0 q1  q02  q32  q12  q22   1 3 0 2

22.四元数 设旋转轴的单位矢量为  n ,n ,n  x y z 则旋转轴单位矢量可以表示为: nx i  n y j  nz k 绕该轴逆时针旋转角 θ 的单位四元数为:   q cos  sin  nx i  n y j  nz k  2 2 q0  qx i  q y j  qz k

23.四元数  四元数乘法定义 rq (r0 q0  rx q x  ry q y  rz q z , r0 q x  rx q0  ry q z  rz q y , r0 q y  rx q z  ry q0  rz q x , r0 q z  rx q y  ry q x  rz q0 )  刚体变换可以很方便地用七个元素表示  q 0 , q1 , q 2 , q3 , q 4 , q5 , q6  p  R  q p   q , q , q  2 1 4 5 6 T

24.4. 射影几何  一般的成象系统通常将三维场景变换成二维 灰度或彩色图像,这种变换可以用一个从三 维空间到二维空间的映射来表示: f: R3  R 2 ( x, y, z )  ( x, y)  四维空间  五维空间,更高维空间

25.透视投影  透视投影 (pitch)perspective projection)) 是最常用 的成像模型,可以用针孔( pin)h)ole )成像模型来成像模型来 近似表示.

26. 透视投影方程: x y  f   x y z f f  点在图像平面中的位置 : x  x y  y z z

27.正交投影  正交投影( orth)ogon)al projection) )成像模型来指用平 行于光轴的光将场景投射到图像平面上 , 因此也 称为平行投影( parallel projection) )成像模型来  投影方程为: x   x y  y

28.5. 相机内部几何参数  单应矩阵( Homography matrix )  内部矩阵( Intrinsic matrix )

29.2D 像素与 3D 场景点关系 Oc :镜头光心 Sx ,Sy :像素间距 Cs :图像坐标系原点 Xs ,Ys :图像平面