本章内容包括傅里叶变换回顾、傅里叶变换性质与信号卷积、图像傅里叶变换。
首先介绍数学基础包括复数的几何意义、欧拉公式和调和函数,从而道明傅里叶变化的基本原理,再讲解傅里叶变换和离散傅里叶变换。并举例:哺乳动物的知觉感应使用傅里叶变换、典型信号的傅里叶变换等内容。通过对傅里叶变换的性质的介绍,引出了卷积定理并介绍其在图像生成中的应用。最后介绍了图像与频谱的关系等。

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1.信号与图像处理基础 中国科学技术大学 自动化系 曹 洋 Fourier Analysis and Convolution

2.本节内容 傅里叶变换回顾 傅里叶变换性质与信号卷积 图像傅里叶变换 2

3.1. 傅里叶变换回顾 3 复数的几何意义 欧 拉公式和调和函数 傅里叶变换 离散傅里叶变换

4.复数的几何意义 4 复数可以用于描述二维复平面上的点集

5.复数的几何意义 5 复数的幅值和相位( Magnitude and Phase )

6.复数的几何意义 6 复数乘法 复数乘法的等效表达: 指数形式

7.欧拉公式 7 欧拉公式的定义 任意的一个复数 z 可以写作:

8.欧拉公式的几何意义 8 欧拉公式的定义 任意的一个复数 z 可以写作:

9.调和函数( Harmonic Functions ) 9 考虑一下这个函数: 模为 1 将正弦函数和余弦函数同时表示; 若这个函数是信号的描述,则 u 为信号频率; 这 一函数被称作广义调和函数。

10.调和函数( Harmonic Functions ) 10 若将调和函数输入一个线性时不变系统,则有 其中 ,H(u) 为系统传递函数,满足 则有,

11.傅里叶变换 11 复杂信号描述为一组正弦信号的叠加

12.傅里叶变换 12 类正弦信号

13.傅里叶变换的基本原理 13 假设有一组单位正交基 则属于由单位正交基所构成空间内的向量可以描述为: 其中,权重系数为 Notes: 每个向量可以被转换为一组权重系数 向量与权重系数之间的转换是可逆变换

14.函数的线性计算 14 向量的内积: 类比定义函数的内积:

15.傅里叶变换 的基本原理 15 类比向量的正交投影变换,函数同样满足:

16.函数的基 : 调和函数 16 调和函数可以作为输入函数的一组正交基:

17.傅里叶级数 17 对于一个有限集合

18.傅里叶变换 18 将 u k 换为频率 u ,则有

19.傅里叶变换 19

20.傅里叶变换 20

21.信号拟合 – N Harmonics 21

22.哺乳动物的知觉感应使用傅里叶变换 22

23.离散傅里叶变换 23 离散傅里叶变换 ,将时域信号的采样变换为在离散 时间傅里叶变换频域 的采样 。即使 对有限长的离散信号作 DFT ,也应当将其看作 经过 周期延拓成为周期信号再作变换。

24.归一化离散傅里叶变换 24

25.2. 傅里叶变换性质与信号卷积 25 典型信号的傅里叶变换 傅里叶变换的性质 信号的卷积

26.典型信号的傅里叶变换 26

27.典型信号的傅里叶变换 27 余弦信号

28.典型信号的傅里叶变换 28 余弦信号

29.典型信号的傅里叶变换 29 正弦信号