本章内容包括傅里叶变换回顾、傅里叶变换性质与信号卷积、图像傅里叶变换。
首先介绍数学基础包括复数的几何意义、欧拉公式和调和函数,从而道明傅里叶变化的基本原理,再讲解傅里叶变换和离散傅里叶变换。并举例:哺乳动物的知觉感应使用傅里叶变换、典型信号的傅里叶变换等内容。通过对傅里叶变换的性质的介绍,引出了卷积定理并介绍其在图像生成中的应用。最后介绍了图像与频谱的关系等。

注脚

1.信号与图像处理基础 中国科学技术大学 自动化系 曹 洋 Fourier Analysis and Convolution

2.本节内容 傅里叶变换回顾 傅里叶变换性质与信号卷积 图像傅里叶变换 2

3.1. 傅里叶变换回顾 3 复数的几何意义 欧 拉公式和调和函数 傅里叶变换 离散傅里叶变换

4.复数的几何意义 4 复数可以用于描述二维复平面上的点集

5.复数的几何意义 5 复数的幅值和相位( Magnitude and Phase )

6.复数的几何意义 6 复数乘法 复数乘法的等效表达: 指数形式

7.欧拉公式 7 欧拉公式的定义 任意的一个复数 z 可以写作:

8.欧拉公式的几何意义 8 欧拉公式的定义 任意的一个复数 z 可以写作:

9.调和函数( Harmonic Functions ) 9 考虑一下这个函数: 模为 1 将正弦函数和余弦函数同时表示; 若这个函数是信号的描述,则 u 为信号频率; 这 一函数被称作广义调和函数。

10.调和函数( Harmonic Functions ) 10 若将调和函数输入一个线性时不变系统,则有 其中 ,H(u) 为系统传递函数,满足 则有,

11.傅里叶变换 11 复杂信号描述为一组正弦信号的叠加

12.傅里叶变换 12 类正弦信号

13.傅里叶变换的基本原理 13 假设有一组单位正交基 则属于由单位正交基所构成空间内的向量可以描述为: 其中,权重系数为 Notes: 每个向量可以被转换为一组权重系数 向量与权重系数之间的转换是可逆变换

14.函数的线性计算 14 向量的内积: 类比定义函数的内积:

15.傅里叶变换 的基本原理 15 类比向量的正交投影变换,函数同样满足:

16.函数的基 : 调和函数 16 调和函数可以作为输入函数的一组正交基:

17.傅里叶级数 17 对于一个有限集合

18.傅里叶变换 18 将 u k 换为频率 u ,则有

19.傅里叶变换 19

20.傅里叶变换 20

21.信号拟合 – N Harmonics 21

22.哺乳动物的知觉感应使用傅里叶变换 22

23.离散傅里叶变换 23 离散傅里叶变换 ,将时域信号的采样变换为在离散 时间傅里叶变换频域 的采样 。即使 对有限长的离散信号作 DFT ,也应当将其看作 经过 周期延拓成为周期信号再作变换。

24.归一化离散傅里叶变换 24

25.2. 傅里叶变换性质与信号卷积 25 典型信号的傅里叶变换 傅里叶变换的性质 信号的卷积

26.典型信号的傅里叶变换 26

27.典型信号的傅里叶变换 27 余弦信号

28.典型信号的傅里叶变换 28 余弦信号

29.典型信号的傅里叶变换 29 正弦信号

30.典型信号的傅里叶变换 30 正弦信号

31.典型信号的傅里叶变换 31 阶跃信号

32.典型信号的傅里叶变换 32 阶跃信号

33.典型信号的傅里叶变换 33 冲击信号

34.典型信号的傅里叶变换 34 冲击信号

35.典型信号的傅里叶变换 35 门信号

36.典型信号的傅里叶变换 36 门信号

37.典型信号的傅里叶变换 37 门信号 辛格 信号

38.典型信号的傅里叶变换 38 高斯信号

39.典型信号的傅里叶变换 39 高斯信号

40.典型信号的傅里叶变换 40 三 角信号 vs 高斯信号

41.典型信号的傅里叶变换 41 差分信号

42.典型信号的傅里叶变换 42 差分信号

43.典型信号的傅里叶变换 43

44.典型信号的傅里叶变换 44

45.傅里叶变换性质 : 线性 45 傅里叶变换的线性特性表示为 若 则 式中 为任意常数。 证 : 利用傅氏变换的线性特性,可以将待求信号分解为若干 基本信号之和。

46.傅里叶变换性质 : 时延 46 傅里叶变换的时延(移位)特性表示为 若 则 时延(移位)性 说明 波形在时间轴上时延,不改变信号 证: 线性相位。 振幅频谱,仅使信号增加一

47.傅里叶变换性质 : 尺度变换 47 傅里叶变换的尺度变换特性表示为 若 则 证: F , 则 令 代入上式 , F

48.傅里叶变换性质 : 尺度变换 48

49.傅里叶变换性质 : 帕斯瓦尔定理 49 傅里叶变换后信号的总能量不变

50.傅里叶变换性质 : 卷积定理 50   时域内作 f(x) 和 h(x) 的卷积,可以转化为在频域 内作乘法

51.信号的卷积 51 线性系统与响应

52.信号的卷积 52 线性系统与响应

53.图像生成机制 定义亮度为空间变量的函数, f( x,y ) 是点 ( x,y ) 的亮度 成像系统会使输入图像退化(质量失真),得到图像为 D 为退化函数,一般包含某些随机噪声过程,若退化操作 D 是线性移不变的,则 g 可以写成

54.以一维条件下为例(可以自然推广到二维情况),点 x 处的函数 f 为: 若 D 是线性运算,可以变换 D 与积分符号次序 其中, δ ( r )表示增量函数 引入新的函数 ,假设 D 只与 有关,则有

55.点扩散函数 ( Point Spread Function ) (Blur kernel) 55 Blurred image I Sharp image L Camera Noise n Blur kernel h 图像生成机制

56.卷积定理 56 能够大大降低计算的复杂度(依赖于快速傅里叶变换的出现) 卷积定理的一个直接应用是对于卷积的运算可以在频域内进行,这也是绝大多数信号处理问题中所采用的方法

57.相关与卷积 57 相关的作用是判断两个信号的相似程度, 不仅是波形上的,也包括起始位置。

58.相关的频域特性 58 与卷积类似,相关也可以在频域内计算

59.信号的自相关 59 自相关是指与信号自身进行相关计算, 其作用是判断信号是否是周期性信号

60.3. 图像傅里叶变换 60 二维连续傅里叶变换 二维离散(图像)傅里叶变换 图像与傅里叶频谱之间的关系

61.二维连续傅里叶变换 61 二维连续傅里叶变换 可以分解为水平和垂直方向上的一维连续傅里叶变换

62.二维连续傅里叶变换 62 二维连续傅里叶变换

63.二维连续傅里叶变换 63 二维连续傅里叶变换

64.二 维离散傅里叶变换 64 对于一副 M*N 的图像,可以描述为: 其傅里叶变换及逆变换为:

65.例子 65

66.一维离散傅里叶变换:门信号 66

67.二维 离散傅里叶变换:门信号 67

68.二维离散傅里叶变换 :图像 68

69.二维离散傅里叶变换 :图像(实部和虚部) 69

70.二维离散傅里叶变换:图像 (功率和相位) 70

71.71 二维离散傅里叶变换 :中心化

72.二维离散傅里叶变换:中心化 72 为了便于分析和描述,需要对频谱进行中心化。 用 (-1) x+y 乘以输入图像来进行中心变换

73.图像与频谱之间的关系

74.图像与频谱之间的关系

75.图像与频谱之间的关系

76.图像与频谱之间的关系 脉冲(点)的频谱

77.图像与频谱之间的关系 脉冲(点)的频谱

78.图像与频谱之间的关系 脉冲(点)的频谱

79.图像与频谱之间的关系 边缘的频谱

80.图像与频谱之间的关系 线的频谱

81.图像与频谱之间的关系 相位谱的作用 图像 功率谱 相位谱

82.图像与频谱之间的关系 仅使用功率谱重建的结果

83.图像与频谱之间的关系 仅使用相位谱重建的结果

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